ENA, Section 1.4, Mentioned, A

Average Accuracy: 52.5% → 100.0%

Time: 6.1s

Precision: binary64

Cost: 13312

\[-0.01 \leq x \land x \leq 0.01\]

Math

\[1 - \cos x \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, {x}^{4} \cdot -0.041666666666666664\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (* x 0.5) x (* (pow x 4.0) -0.041666666666666664)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

↓

double code(double x) {
	return fma((x * 0.5), x, (pow(x, 4.0) * -0.041666666666666664));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

↓

function code(x)
	return fma(Float64(x * 0.5), x, Float64((x ^ 4.0) * -0.041666666666666664))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] * x + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	52.5%
Target	100.0%
Herbie	100.0%

\[\frac{\sin x \cdot \sin x}{1 + \cos x} \]

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[1 - \cos x \]

2. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x}} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 57.2	\[ 1 - \cos x \]
   flip-- [=>] 57.2	\[ \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{1 + \cos x}} \]
   div-inv [=>] 57.2	\[ \color{blue}{\left(1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x}} \]
   metadata-eval [=>] 57.2	\[ \left(\color{blue}{1} - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
   1-sub-cos [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\left(\sin x \cdot \sin x\right)} \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 100.0	\[ \left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
   associate-*r/ [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\frac{\left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot 1}{1 + \cos x}} \]
   *-rgt-identity [=>] 100.0	\[ \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{1 + \cos x} \]
   associate-*r/ [<=] 100.0	\[ \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}} \]
   hang-0p-tan [=>] 100.0	\[ \sin x \cdot \color{blue}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 100.0	\[ 0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]
   +-commutative [=>] 100.0	\[ \color{blue}{-0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + 0.5 \cdot {x}^{2}} \]
   metadata-eval [<=] 100.0	\[ -0.041666666666666664 \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   pow-sqr [<=] 100.0	\[ -0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   associate-*r* [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\left(-0.041666666666666664 \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}} + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   distribute-rgt-out [=>] 100.0	\[ \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(-0.041666666666666664 \cdot {x}^{2} + 0.5\right)} \]
   *-commutative [<=] 100.0	\[ {x}^{2} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.041666666666666664} + 0.5\right) \]
   unpow2 [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right) \]
   unpow2 [=>] 100.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right) \]
   associate-*l* [=>] 100.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)} + 0.5\right) \]
   fma-def [=>] 100.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)} \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 100.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right) \]
   fma-udef [=>] 100.0	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right) + 0.5\right)} \]
   distribute-rgt-in [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, {x}^{4} \cdot -0.041666666666666664\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 100.0	\[ \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
   +-commutative [=>] 100.0	\[ \color{blue}{0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
   associate-*r* [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot x} + \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) \]
   fma-def [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot x, x, \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
   *-commutative [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x \cdot 0.5}, x, \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right)}\right) \]
   associate-*r* [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right)}\right) \]
   associate-*r* [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot -0.041666666666666664}\right) \]
   pow2 [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot -0.041666666666666664\right) \]
   pow2 [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot -0.041666666666666664\right) \]
   pow-prod-up [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot -0.041666666666666664\right) \]
   metadata-eval [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, {x}^{\color{blue}{4}} \cdot -0.041666666666666664\right) \]

8. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot 0.5, x, {x}^{4} \cdot -0.041666666666666664\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.9%
Cost	960

\[\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 2
Accuracy	99.6%
Cost	320

\[0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 3
Accuracy	99.6%
Cost	320

\[x \cdot \left(x \cdot 0.5\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023157 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Mentioned, A"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -0.01 x) (<= x 0.01))

  :herbie-target
  (/ (* (sin x) (sin x)) (+ 1.0 (cos x)))

  (- 1.0 (cos x)))