Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, D

Average Accuracy: 98.0% → 99.5%

Time: 12.1s

Precision: binary64

Cost: 65600

Math

\[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

↓

\[{\left(\sqrt{0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)\right)\right)}\right)}^{2} + \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{y} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}\right)\right)}}\right) \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

↓

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (pow
   (sqrt
    (*
     0.5
     (*
      0.3333333333333333
      (acos (* (sqrt t) (* (/ x z) (/ 0.05555555555555555 y)))))))
   2.0)
  (log
   (sqrt
    (pow
     (exp 0.3333333333333333)
     (acos (* (/ 0.05555555555555555 y) (* (sqrt t) (/ x z)))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return pow(sqrt((0.5 * (0.3333333333333333 * acos((sqrt(t) * ((x / z) * (0.05555555555555555 / y))))))), 2.0) + log(sqrt(pow(exp(0.3333333333333333), acos(((0.05555555555555555 / y) * (sqrt(t) * (x / z)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

↓

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (sqrt((0.5d0 * (0.3333333333333333d0 * acos((sqrt(t) * ((x / z) * (0.05555555555555555d0 / y))))))) ** 2.0d0) + log(sqrt((exp(0.3333333333333333d0) ** acos(((0.05555555555555555d0 / y) * (sqrt(t) * (x / z)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

↓

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.pow(Math.sqrt((0.5 * (0.3333333333333333 * Math.acos((Math.sqrt(t) * ((x / z) * (0.05555555555555555 / y))))))), 2.0) + Math.log(Math.sqrt(Math.pow(Math.exp(0.3333333333333333), Math.acos(((0.05555555555555555 / y) * (Math.sqrt(t) * (x / z)))))));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

↓

def code(x, y, z, t):
	return math.pow(math.sqrt((0.5 * (0.3333333333333333 * math.acos((math.sqrt(t) * ((x / z) * (0.05555555555555555 / y))))))), 2.0) + math.log(math.sqrt(math.pow(math.exp(0.3333333333333333), math.acos(((0.05555555555555555 / y) * (math.sqrt(t) * (x / z)))))))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

↓

function code(x, y, z, t)
	return Float64((sqrt(Float64(0.5 * Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(sqrt(t) * Float64(Float64(x / z) * Float64(0.05555555555555555 / y))))))) ^ 2.0) + log(sqrt((exp(0.3333333333333333) ^ acos(Float64(Float64(0.05555555555555555 / y) * Float64(sqrt(t) * Float64(x / z))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

↓

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (sqrt((0.5 * (0.3333333333333333 * acos((sqrt(t) * ((x / z) * (0.05555555555555555 / y))))))) ^ 2.0) + log(sqrt((exp(0.3333333333333333) ^ acos(((0.05555555555555555 / y) * (sqrt(t) * (x / z)))))));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[Power[N[Sqrt[N[(0.5 * N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] * N[(N[(x / z), $MachinePrecision] * N[(0.05555555555555555 / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Log[N[Sqrt[N[Power[N[Exp[0.3333333333333333], $MachinePrecision], N[ArcCos[N[(N[(0.05555555555555555 / y), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] * N[(x / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	98.0%
Target	98.1%
Herbie	99.5%

\[\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{27}}{y \cdot z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{3}}\right)}{3} \]

Derivation

1. Initial program 97.7%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

2. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 97.7	\[ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   metadata-eval [=>] 97.7	\[ \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   times-frac [=>] 97.7	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{3}{z} \cdot \frac{\frac{x}{y \cdot 27}}{2}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   associate-*r/ [=>] 97.7	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{\frac{3}{z} \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{2}} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   times-frac [<=] 97.7	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{3 \cdot x}{z \cdot \left(y \cdot 27\right)}}}{2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   *-commutative [=>] 97.7	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\frac{\color{blue}{x \cdot 3}}{z \cdot \left(y \cdot 27\right)}}{2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   times-frac [=>] 98.5	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{x}{z} \cdot \frac{3}{y \cdot 27}}}{2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   associate-/l* [=>] 98.5	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{\frac{x}{z}}{\frac{2}{\frac{3}{y \cdot 27}}}} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   associate-*l/ [=>] 98.5	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}}{\frac{2}{\frac{3}{y \cdot 27}}}\right)} \]
   associate-*r/ [<=] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{\frac{3}{y \cdot 27}}}\right)} \]
   associate-/r/ [=>] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \left(y \cdot 27\right)}}\right) \]
   *-commutative [=>] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\left(27 \cdot y\right)}}\right) \]
   associate-*r* [=>] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot 27\right) \cdot y}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot 27\right) \cdot y}\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\color{blue}{18} \cdot y}\right) \]

3. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right) \]
   add-log-exp [=>] 98.1	\[ \color{blue}{\log \left(e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}\right)} \]
   add-sqr-sqrt [=>] 98.1	\[ \log \color{blue}{\left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}} \cdot \sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right)} \]
   log-prod [=>] 98.1	\[ \color{blue}{\log \left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right)} \]
   exp-prod [=>] 98.1	\[ \log \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right) \]
   associate-*r/ [=>] 98.1	\[ \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right) \]
   div-inv [=>] 98.1	\[ \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{1}{18 \cdot y}\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right) \]
   associate-/r* [=>] 98.1	\[ \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{18}}{y}}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.1	\[ \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{\color{blue}{0.05555555555555555}}{y}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{18 \cdot y}\right)}}\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)\right)\right)}\right)}^{2}} + \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right) \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.5	\[ \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right) \]
   add-sqr-sqrt [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\sqrt{\log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right)} \cdot \sqrt{\log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right)}} + \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right) \]
   pow2 [=>] 100.0	\[ \color{blue}{{\left(\sqrt{\log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right)}\right)}^{2}} + \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\left(\frac{x}{z} \cdot \sqrt{t}\right) \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)}}\right) \]

5. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto {\left(\sqrt{0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)\right)\right)}\right)}^{2} + \log \left(\sqrt{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{y} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}\right)\right)}}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.5%
Cost	32832

\[e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{0.05555555555555555}{y}\right)\right), 1\right)\right)} + -1 \]

Alternative 2
Accuracy	99.5%
Cost	26432

\[e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{0.05555555555555555}{y} \cdot \left(\sqrt{t} \cdot \frac{x}{z}\right)\right)\right)} + -1 \]

Alternative 3
Accuracy	97.0%
Cost	13504

\[0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{x}{z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{y \cdot 18}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023157 
(FPCore (x y z t)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, D"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (acos (* (/ (/ x 27.0) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2.0 3.0)))) 3.0)

  (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))