exp2 (problem 3.3.7)

Average Accuracy: 53.4% → 99.0%

Time: 9.0s

Precision: binary64

Cost: 13568

Math

\[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right) + 0.08333333333333333\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  x
  x
  (* (pow x 4.0) (+ (* x (* x 0.002777777777777778)) 0.08333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
}

↓

double code(double x) {
	return fma(x, x, (pow(x, 4.0) * ((x * (x * 0.002777777777777778)) + 0.08333333333333333)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 2.0) + exp(Float64(-x)))
end

↓

function code(x)
	return fma(x, x, Float64((x ^ 4.0) * Float64(Float64(x * Float64(x * 0.002777777777777778)) + 0.08333333333333333)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(x * x + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * N[(N[(x * N[(x * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	53.4%
Target	99.9%
Herbie	99.0%

\[4 \cdot {\sinh \left(\frac{x}{2}\right)}^{2} \]

Derivation

1. Initial program 53.4%

   \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.0	\[ 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   +-commutative [=>] 99.0	\[ \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) + 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}} \]
   associate-+l+ [=>] 99.0	\[ \color{blue}{{x}^{2} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)} \]
   unpow2 [=>] 99.0	\[ \color{blue}{x \cdot x} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right) \]
   fma-def [=>] 99.0	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)} \]
   fma-def [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}}\right) \]
   Proof

   [Start] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]
   fma-udef [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}}\right) \]

6. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{{x}^{4} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right)}\right) \]
   Proof

   [Start] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, 0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   metadata-eval [<=] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, 0.002777777777777778 \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   pow-sqr [<=] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, 0.002777777777777778 \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   cube-mult [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, 0.002777777777777778 \cdot \left({x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   associate-*r* [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, 0.002777777777777778 \cdot \color{blue}{\left(\left({x}^{3} \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   pow-plus [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, 0.002777777777777778 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 1\right)}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, 0.002777777777777778 \cdot \left({x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   associate-*l* [<=] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.002777777777777778\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   associate-*r* [<=] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   *-commutative [<=] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right) + \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.08333333333333333}\right) \]
   distribute-lft-out [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778 + 0.08333333333333333\right)}\right) \]
   associate-*l* [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)} + 0.08333333333333333\right)\right) \]
   fma-def [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right) + 0.08333333333333333\right)}\right) \]
   Proof

   [Start] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.002777777777777778, 0.08333333333333333\right)\right) \]
   fma-udef [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right) + 0.08333333333333333\right)}\right) \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right) + 0.08333333333333333\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.8%
Cost	13184

\[\mathsf{fma}\left(x, x, {x}^{4} \cdot 0.08333333333333333\right) \]

Alternative 2
Accuracy	98.8%
Cost	6912

\[{x}^{4} \cdot 0.08333333333333333 + x \cdot x \]

Alternative 3
Accuracy	98.3%
Cost	192

\[x \cdot x \]

Alternative 4
Accuracy	51.0%
Cost	64

\[0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023152 
(FPCore (x)
  :name "exp2 (problem 3.3.7)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 4.0 (pow (sinh (/ x 2.0)) 2.0))

  (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))