invcot (example 3.9)

Average Accuracy: 6.5% → 99.6%

Time: 15.5s

Precision: binary64

Cost: 39872

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111 \cdot x, \frac{x}{t_0}, \frac{-{x}^{6}}{\frac{t_0}{0.0004938271604938272}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma -0.022222222222222223 (pow x 3.0) (* x 0.3333333333333333))))
   (fma
    (* 0.1111111111111111 x)
    (/ x t_0)
    (/ (- (pow x 6.0)) (/ t_0 0.0004938271604938272)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = fma(-0.022222222222222223, pow(x, 3.0), (x * 0.3333333333333333));
	return fma((0.1111111111111111 * x), (x / t_0), (-pow(x, 6.0) / (t_0 / 0.0004938271604938272)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

↓

function code(x)
	t_0 = fma(-0.022222222222222223, (x ^ 3.0), Float64(x * 0.3333333333333333))
	return fma(Float64(0.1111111111111111 * x), Float64(x / t_0), Float64(Float64(-(x ^ 6.0)) / Float64(t_0 / 0.0004938271604938272)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.022222222222222223 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(0.1111111111111111 * x), $MachinePrecision] * N[(x / t$95$0), $MachinePrecision] + N[((-N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]) / N[(t$95$0 / 0.0004938271604938272), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Target

Original	6.5%
Target	99.9%
Herbie	99.6%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 6.5%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} \]
   fma-def [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

4. Applied egg-rr 54.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]
   Proof

   [Start] 99.4	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \]
   fma-udef [=>] 99.4	\[ \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   flip-+ [=>] 54.0	\[ \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]
   *-commutative [=>] 54.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   *-commutative [=>] 54.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   swap-sqr [=>] 54.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   pow-prod-up [=>] 54.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   metadata-eval [=>] 54.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - {x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   metadata-eval [=>] 54.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

5. Simplified 54.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]
   Proof

   [Start] 54.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   swap-sqr [=>] 54.0	\[ \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   metadata-eval [=>] 54.0	\[ \frac{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   cancel-sign-sub-inv [=>] 54.0	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}}} \]
   metadata-eval [=>] 54.0	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{3}} \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}, -\frac{{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}{0.0004938271604938272}}\right)} \]
   Proof

   [Start] 54.0	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   div-sub [=>] 54.0	\[ \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]
   associate-*r* [=>] 54.0	\[ \frac{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   *-un-lft-identity [=>] 54.0	\[ \frac{\left(0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   times-frac [=>] 99.6	\[ \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1} \cdot \frac{x}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   fma-neg [=>] 99.6	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\right)} \]
   +-commutative [=>] 99.6	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\color{blue}{-0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x}}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\right) \]
   fma-def [=>] 99.6	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, 0.3333333333333333 \cdot x\right)}}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.6	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}\right)}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\right) \]
   associate-/l* [=>] 99.6	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}, -\color{blue}{\frac{{x}^{6}}{\frac{0.3333333333333333 \cdot x + -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}{0.0004938271604938272}}}\right) \]
   +-commutative [=>] 99.6	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}, -\frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{-0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x}}{0.0004938271604938272}}\right) \]
   fma-def [=>] 99.6	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}, -\frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, 0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{0.0004938271604938272}}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.6	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}, -\frac{{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}\right)}{0.0004938271604938272}}\right) \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111 \cdot x, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}, \frac{-{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(-0.022222222222222223, {x}^{3}, x \cdot 0.3333333333333333\right)}{0.0004938271604938272}}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.5%
Cost	20352

\[x \cdot 0.3333333333333333 + \left(0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223 + 0.00021164021164021165 \cdot {x}^{7}\right)\right) \]

Alternative 2
Accuracy	99.5%
Cost	13632

\[x \cdot 0.3333333333333333 + \left(0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + {x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \]

Alternative 3
Accuracy	99.4%
Cost	576

\[x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \]

Alternative 4
Accuracy	98.9%
Cost	192

\[x \cdot 0.3333333333333333 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023152 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))