Hyperbolic sine

Average Accuracy: 9.1% → 98.9%

Time: 8.4s

Precision: binary64

Cost: 832

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

↓

\[\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + x \cdot 2}{2} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* x (* x (* x 0.3333333333333333))) (* x 2.0)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

↓

double code(double x) {
	return ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x * 2.0)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333d0))) + (x * 2.0d0)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

↓

public static double code(double x) {
	return ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x * 2.0)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

↓

def code(x):
	return ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x * 2.0)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))) + Float64(x * 2.0)) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x * 2.0)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   Proof

   [Start] 98.9	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2} \]
   unpow3 [=>] 98.9	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]
   associate-*r* [=>] 98.9	\[ \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]
   distribute-rgt-out [=>] 98.9	\[ \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   *-commutative [<=] 98.9	\[ \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]
   +-commutative [<=] 98.9	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]
   associate-*l* [=>] 98.9	\[ \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]
   fma-def [=>] 98.9	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]
   Proof

   [Start] 98.9	\[ \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{2} \]
   fma-udef [=>] 98.9	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]
   distribute-rgt-in [=>] 98.9	\[ \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + x \cdot 2}{2} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.4%
Cost	64

\[x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023151 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))