FastMath dist3

Average Accuracy: 99.9% → 100.0%

Time: 8.2s

Precision: binary64

Cost: 6976

Math

\[\left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(d1, d2, d1 \cdot \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (d1 d2 d3)
 :precision binary64
 (+ (+ (* d1 d2) (* (+ d3 5.0) d1)) (* d1 32.0)))

↓

(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (fma d1 d2 (* d1 (+ (+ d3 5.0) 32.0))))

C

double code(double d1, double d2, double d3) {
	return ((d1 * d2) + ((d3 + 5.0) * d1)) + (d1 * 32.0);
}

↓

double code(double d1, double d2, double d3) {
	return fma(d1, d2, (d1 * ((d3 + 5.0) + 32.0)));
}

Julia

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(Float64(d1 * d2) + Float64(Float64(d3 + 5.0) * d1)) + Float64(d1 * 32.0))
end

↓

function code(d1, d2, d3)
	return fma(d1, d2, Float64(d1 * Float64(Float64(d3 + 5.0) + 32.0)))
end

Wolfram

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] + N[(N[(d3 + 5.0), $MachinePrecision] * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(d1 * 32.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[d1_, d2_, d3_] := N[(d1 * d2 + N[(d1 * N[(N[(d3 + 5.0), $MachinePrecision] + 32.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	99.9%
Target	100.0%
Herbie	100.0%

\[d1 \cdot \left(\left(37 + d3\right) + d2\right) \]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]

2. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, d2, d1 \cdot \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.9	\[ \left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]
   associate-+l+ [=>] 99.9	\[ \color{blue}{d1 \cdot d2 + \left(\left(d3 + 5\right) \cdot d1 + d1 \cdot 32\right)} \]
   fma-def [=>] 99.9	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, d2, \left(d3 + 5\right) \cdot d1 + d1 \cdot 32\right)} \]
   *-commutative [=>] 99.9	\[ \mathsf{fma}\left(d1, d2, \color{blue}{d1 \cdot \left(d3 + 5\right)} + d1 \cdot 32\right) \]
   distribute-lft-out [=>] 100.0	\[ \mathsf{fma}\left(d1, d2, \color{blue}{d1 \cdot \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)}\right) \]

3. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(d1, d2, d1 \cdot \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	51.4%
Cost	984

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq -7.2 \cdot 10^{-146}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq -3.4 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot 37\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq -1.9 \cdot 10^{-253}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq 1.7 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot 37\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq 9.5 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq 37:\\ \;\;\;\;d1 \cdot 37\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d3\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	76.5%
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 150:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + 37\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d3\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	76.8%
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 1.25 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + 37\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d3 + 37\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	100.0%
Cost	448

\[d1 \cdot \left(d2 + \left(d3 + 37\right)\right) \]

Alternative 5
Accuracy	48.9%
Cost	324

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 37:\\ \;\;\;\;d1 \cdot 37\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d3\\ \end{array} \]

Alternative 6
Accuracy	33.1%
Cost	192

\[d1 \cdot 37 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023151 
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath dist3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ (+ 37.0 d3) d2))

  (+ (+ (* d1 d2) (* (+ d3 5.0) d1)) (* d1 32.0)))