math.sin on complex, imaginary part

Average Accuracy: 9.1% → 98.9%

Time: 14.1s

Precision: binary64

Cost: 20032

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right) \cdot \cos re \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (-
   (+
    (* -0.008333333333333333 (pow im 5.0))
    (* -0.16666666666666666 (pow im 3.0)))
   im)
  (cos re)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (((-0.008333333333333333 * pow(im, 5.0)) + (-0.16666666666666666 * pow(im, 3.0))) - im) * cos(re);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = ((((-0.008333333333333333d0) * (im ** 5.0d0)) + ((-0.16666666666666666d0) * (im ** 3.0d0))) - im) * cos(re)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return (((-0.008333333333333333 * Math.pow(im, 5.0)) + (-0.16666666666666666 * Math.pow(im, 3.0))) - im) * Math.cos(re);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return (((-0.008333333333333333 * math.pow(im, 5.0)) + (-0.16666666666666666 * math.pow(im, 3.0))) - im) * math.cos(re)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(-0.008333333333333333 * (im ^ 5.0)) + Float64(-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0))) - im) * cos(re))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = (((-0.008333333333333333 * (im ^ 5.0)) + (-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0))) - im) * cos(re);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(N[(N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision] * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	9.1%
Target	99.6%
Herbie	98.9%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Simplified 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \mathsf{fma}\left(e^{im}, -0.5, \frac{0.5}{e^{im}}\right)} \]
   Proof

   [Start] 9.1	\[ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   *-commutative [=>] 9.1	\[ \color{blue}{\left(\cos re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   associate-*l* [=>] 9.1	\[ \color{blue}{\cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]
   sub-neg [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(e^{0 - im} + \left(-e^{im}\right)\right)}\right) \]
   +-commutative [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(-e^{im}\right) + e^{0 - im}\right)}\right) \]
   distribute-lft-in [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(-e^{im}\right) + 0.5 \cdot e^{0 - im}\right)} \]
   distribute-lft-in [<=] 9.1	\[ \cos re \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(\left(-e^{im}\right) + e^{0 - im}\right)\right)} \]
   distribute-rgt-in [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(-e^{im}\right) \cdot 0.5 + e^{0 - im} \cdot 0.5\right)} \]
   distribute-lft-neg-out [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \left(\color{blue}{\left(-e^{im} \cdot 0.5\right)} + e^{0 - im} \cdot 0.5\right) \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \left(\color{blue}{e^{im} \cdot \left(-0.5\right)} + e^{0 - im} \cdot 0.5\right) \]
   metadata-eval [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \left(e^{im} \cdot \color{blue}{-0.5} + e^{0 - im} \cdot 0.5\right) \]
   metadata-eval [<=] 9.1	\[ \cos re \cdot \left(e^{im} \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot -1\right)} + e^{0 - im} \cdot 0.5\right) \]
   fma-def [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(e^{im}, 0.5 \cdot -1, e^{0 - im} \cdot 0.5\right)} \]
   metadata-eval [=>] 9.1	\[ \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(e^{im}, \color{blue}{-0.5}, e^{0 - im} \cdot 0.5\right) \]
   exp-diff [=>] 9.0	\[ \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(e^{im}, -0.5, \color{blue}{\frac{e^{0}}{e^{im}}} \cdot 0.5\right) \]
   associate-*l/ [=>] 9.0	\[ \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(e^{im}, -0.5, \color{blue}{\frac{e^{0} \cdot 0.5}{e^{im}}}\right) \]
   exp-0 [=>] 9.0	\[ \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(e^{im}, -0.5, \frac{\color{blue}{1} \cdot 0.5}{e^{im}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 9.0	\[ \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(e^{im}, -0.5, \frac{\color{blue}{0.5}}{e^{im}}\right) \]

3. Taylor expanded in im around 0 98.9%

   \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -1 \cdot im\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)}\right) \]
   Proof

   [Start] 98.9	\[ \cos re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + -1 \cdot im\right)\right) \]
   mul-1-neg [=>] 98.9	\[ \cos re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \color{blue}{\left(-im\right)}\right)\right) \]
   unsub-neg [=>] 98.9	\[ \cos re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)}\right) \]

5. Taylor expanded in re around inf 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right) \cdot \cos re} \]

6. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right) \cdot \cos re \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.9%
Cost	20032

\[\cos re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\right) \]

Alternative 2
Accuracy	98.7%
Cost	13312

\[\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right) \]

Alternative 3
Accuracy	58.2%
Cost	6660

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos re \leq -0.005:\\ \;\;\;\;im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-im\\ \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	98.2%
Cost	6656

\[im \cdot \left(-\cos re\right) \]

Alternative 5
Accuracy	3.8%
Cost	64

\[13.5 \]

Alternative 6
Accuracy	8.3%
Cost	64

\[im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023151 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))