exp2 (problem 3.3.7)

Average Accuracy: 53.8% → 98.9%

Time: 8.2s

Precision: binary64

Cost: 832

Math

\[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

↓

\[x \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* x x) (* (* x x) (* (* x x) 0.08333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
}

↓

double code(double x) {
	return (x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 2.0d0) + exp(-x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 2.0) + Math.exp(-x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return (x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 2.0) + math.exp(-x)

↓

def code(x):
	return (x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 2.0) + exp(Float64(-x)))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * 0.08333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	53.8%
Target	99.9%
Herbie	98.9%

\[4 \cdot {\sinh \left(\frac{x}{2}\right)}^{2} \]

Derivation

1. Initial program 53.8%

   \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

2. Simplified 53.8%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{x} + \left(e^{-x} + -2\right)} \]
   Proof

   [Start] 53.8	\[ \left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]
   associate-+l- [=>] 53.8	\[ \color{blue}{e^{x} - \left(2 - e^{-x}\right)} \]
   sub-neg [=>] 53.8	\[ \color{blue}{e^{x} + \left(-\left(2 - e^{-x}\right)\right)} \]
   sub-neg [=>] 53.8	\[ e^{x} + \left(-\color{blue}{\left(2 + \left(-e^{-x}\right)\right)}\right) \]
   +-commutative [=>] 53.8	\[ e^{x} + \left(-\color{blue}{\left(\left(-e^{-x}\right) + 2\right)}\right) \]
   distribute-neg-in [=>] 53.8	\[ e^{x} + \color{blue}{\left(\left(-\left(-e^{-x}\right)\right) + \left(-2\right)\right)} \]
   remove-double-neg [=>] 53.8	\[ e^{x} + \left(\color{blue}{e^{-x}} + \left(-2\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 53.8	\[ e^{x} + \left(e^{-x} + \color{blue}{-2}\right) \]

3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]

4. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]
   Proof

   [Start] 98.9	\[ {x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} \]
   unpow2 [=>] 98.9	\[ \color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} \]

5. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto x \cdot x + \color{blue}{\left(\left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) - 1\right)} \]
   Proof

   [Start] 98.9	\[ x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} \]
   expm1-log1p-u [=>] 98.9	\[ x \cdot x + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
   expm1-udef [=>] 98.6	\[ x \cdot x + \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} - 1\right)} \]
   log1p-udef [=>] 98.6	\[ x \cdot x + \left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} - 1\right) \]
   add-exp-log [<=] 98.6	\[ x \cdot x + \left(\color{blue}{\left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} - 1\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto x \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
   Proof

   [Start] 98.6	\[ x \cdot x + \left(\left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) - 1\right) \]
   add-exp-log [=>] 98.6	\[ x \cdot x + \left(\color{blue}{e^{\log \left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} - 1\right) \]
   log1p-udef [<=] 98.6	\[ x \cdot x + \left(e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} - 1\right) \]
   expm1-udef [<=] 98.9	\[ x \cdot x + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
   expm1-log1p-u [<=] 98.9	\[ x \cdot x + \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]
   *-commutative [=>] 98.9	\[ x \cdot x + \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.08333333333333333} \]
   sqr-pow [=>] 98.9	\[ x \cdot x + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{4}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)} \cdot 0.08333333333333333 \]
   metadata-eval [=>] 98.9	\[ x \cdot x + \left({x}^{\color{blue}{2}} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right) \cdot 0.08333333333333333 \]
   pow2 [<=] 98.9	\[ x \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right) \cdot 0.08333333333333333 \]
   metadata-eval [=>] 98.9	\[ x \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right) \cdot 0.08333333333333333 \]
   pow2 [<=] 98.9	\[ x \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 0.08333333333333333 \]
   associate-*l* [=>] 98.9	\[ x \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto x \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.9%
Cost	704

\[\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) + 1\right) \]

Alternative 2
Accuracy	98.4%
Cost	192

\[x \cdot x \]

Alternative 3
Accuracy	51.6%
Cost	64

\[0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023151 
(FPCore (x)
  :name "exp2 (problem 3.3.7)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 4.0 (pow (sinh (/ x 2.0)) 2.0))

  (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))