?

Average Accuracy: 9.1% → 98.9%
Time: 21.9s
Precision: binary64

?

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, im, \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{5}, -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right) \]
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (cos re))
  (fma
   -2.0
   im
   (fma
    -0.016666666666666666
    (pow im 5.0)
    (* -0.3333333333333333 (pow im 3.0))))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * fma(-2.0, im, fma(-0.016666666666666666, pow(im, 5.0), (-0.3333333333333333 * pow(im, 3.0))));
}

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end
↓
function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * fma(-2.0, im, fma(-0.016666666666666666, (im ^ 5.0), Float64(-0.3333333333333333 * (im ^ 3.0)))))
end

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-2.0 * im + N[(-0.016666666666666666 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] + N[(-0.3333333333333333 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)
↓
\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-2, im, \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{5}, -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)

Error?

Target

Original9.1%
Target99.6%
Herbie98.9%
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation?

  1. Initial program 9.1%

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

  2. Simplified9.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \]
    Proof

  3. Taylor expanded in im around 0 98.9%

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)} \]

  4. Simplified98.9%

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-2, im, \mathsf{fma}\left(-0.016666666666666666, {im}^{5}, -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)} \]
    Proof

Reproduce?

herbie shell --seed 2023151 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))