UniformSampleCone 2

Average Accuracy: 98.9% → 98.9%

Time: 21.7s

Precision: binary32

Cost: 21088

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_1 \cdot t_0\right) \cdot xi + \left(t_0 \cdot \sin t_1\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
        (t_1 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (+ (* (* (cos t_1) t_0) xi) (* (* t_0 (sin t_1)) yi))
    (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	float t_1 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_1) * t_0) * xi) + ((t_0 * sinf(t_1)) * yi)) + (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	t_1 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_1) * t_0) * xi) + Float32(Float32(t_0 * sin(t_1)) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (((cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * (((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * (((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi);
end

↓

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	t_1 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_1) * t_0) * xi) + ((t_0 * sin(t_1)) * yi)) + (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in maxCos around 0 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

3. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.9%
Cost	20448

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos t_0 + yi \cdot \sin t_0\right)\right) \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	98.7%
Cost	20192

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \left(xi \cdot \cos t_0 + yi \cdot \sin t_0\right) \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	98.8%
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	98.8%
Cost	17312

\[\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 5
Accuracy	95.7%
Cost	17184

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

Alternative 6
Accuracy	90.2%
Cost	16992

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 7
Accuracy	90.2%
Cost	16992

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 8
Accuracy	90.2%
Cost	16992

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 9
Accuracy	90.2%
Cost	16992

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 10
Accuracy	87.3%
Cost	16864

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023147 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))