Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Accuracy: 99.8% → 99.8%

Time: 12.8s

Precision: binary64

Cost: 13376

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[-0.3333333333333333 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, a\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  -0.3333333333333333
  (fma 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (+ -0.3333333333333333 a))) a)))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333 + fma(0.3333333333333333, (rand * sqrt((-0.3333333333333333 + a))), a);
}

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(-0.3333333333333333 + fma(0.3333333333333333, Float64(rand * sqrt(Float64(-0.3333333333333333 + a))), a))
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(-0.3333333333333333 + N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(-0.3333333333333333 + a), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.8	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   sub-neg [=>] 99.8	\[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   *-commutative [=>] 99.8	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]
   sub-neg [=>] 99.8	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

4. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, a\right) + -0.3333333333333333} \]
   Proof

   [Start] 99.8	\[ \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   sub-neg [=>] 99.8	\[ \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) + \left(-0.3333333333333333\right)} \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) + \color{blue}{-0.3333333333333333} \]
   fma-def [=>] 99.8	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand, a\right)} + -0.3333333333333333 \]
   *-commutative [=>] 99.8	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}}, a\right) + -0.3333333333333333 \]
   sub-neg [=>] 99.8	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}, a\right) + -0.3333333333333333 \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}, a\right) + -0.3333333333333333 \]
   +-commutative [=>] 99.8	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, a\right) + -0.3333333333333333 \]

5. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto -0.3333333333333333 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, a\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	91.2%
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.4 \cdot 10^{+88} \lor \neg \left(rand \leq 10^{+61}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	91.3%
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -5 \cdot 10^{+88} \lor \neg \left(rand \leq 8.2 \cdot 10^{+60}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{-0.037037037037037035 + a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	98.8%
Cost	7104

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 4
Accuracy	98.7%
Cost	7104

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{a}}\right) \]

Alternative 5
Accuracy	99.8%
Cost	7104

\[-0.3333333333333333 + \left(a + \sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \]

Alternative 6
Accuracy	99.8%
Cost	7104

\[\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333 \]

Alternative 7
Accuracy	90.5%
Cost	6985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.2 \cdot 10^{+88} \lor \neg \left(rand \leq 9 \cdot 10^{+60}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 8
Accuracy	71.0%
Cost	192

\[a - 0.3333333333333333 \]

Alternative 9
Accuracy	69.7%
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023147 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))