Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Average Accuracy: 76.8% → 99.6%

Time: 9.9s

Precision: binary64

Cost: 13312

Math

\[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

↓

\[{\left(\frac{1}{\frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75}}\right)}^{-1} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))

↓

(FPCore (x) :precision binary64 (pow (/ 1.0 (/ (tan (* x 0.5)) 0.75)) -1.0))

C

double code(double x) {
	return (((8.0 / 3.0) * sin((x * 0.5))) * sin((x * 0.5))) / sin(x);
}

↓

double code(double x) {
	return pow((1.0 / (tan((x * 0.5)) / 0.75)), -1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * sin((x * 0.5d0))) * sin((x * 0.5d0))) / sin(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / (tan((x * 0.5d0)) / 0.75d0)) ** (-1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (((8.0 / 3.0) * Math.sin((x * 0.5))) * Math.sin((x * 0.5))) / Math.sin(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return Math.pow((1.0 / (Math.tan((x * 0.5)) / 0.75)), -1.0);
}

Python

def code(x):
	return (((8.0 / 3.0) * math.sin((x * 0.5))) * math.sin((x * 0.5))) / math.sin(x)

↓

def code(x):
	return math.pow((1.0 / (math.tan((x * 0.5)) / 0.75)), -1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * sin(Float64(x * 0.5))) * sin(Float64(x * 0.5))) / sin(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(tan(Float64(x * 0.5)) / 0.75)) ^ -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((8.0 / 3.0) * sin((x * 0.5))) * sin((x * 0.5))) / sin(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / (tan((x * 0.5)) / 0.75)) ^ -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[Power[N[(1.0 / N[(N[Tan[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]

Target

Original	76.8%
Target	99.5%
Herbie	99.6%

\[\frac{\frac{8 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

Derivation

1. Initial program 76.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

2. Simplified 76.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 76.8	\[ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   associate-*l* [=>] 76.8	\[ \frac{\color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]
   associate-*l/ [<=] 76.8	\[ \color{blue}{\frac{\frac{8}{3}}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \]
   metadata-eval [=>] 76.8	\[ \frac{\color{blue}{2.6666666666666665}}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \]

3. Applied egg-rr 53.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos x\right)} \]
   Proof

   [Start] 76.8	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \]
   add-log-exp [=>] 54.1	\[ \color{blue}{\log \left(e^{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}\right)} \]
   *-un-lft-identity [=>] 54.1	\[ \log \color{blue}{\left(1 \cdot e^{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}\right)} \]
   log-prod [=>] 54.1	\[ \color{blue}{\log 1 + \log \left(e^{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}\right)} \]
   metadata-eval [=>] 54.1	\[ \color{blue}{0} + \log \left(e^{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}\right) \]
   add-log-exp [<=] 76.8	\[ 0 + \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \]
   sqr-sin-a [=>] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
   cancel-sign-sub-inv [=>] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-0.5\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
   metadata-eval [=>] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + \color{blue}{-0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot x\right)}\right)\right) \]
   associate-*r* [=>] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot 0.5\right) \cdot x\right)}\right) \]
   metadata-eval [=>] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\color{blue}{1} \cdot x\right)\right) \]
   *-un-lft-identity [<=] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \color{blue}{x}\right) \]

4. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333 \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]
   Proof

   [Start] 53.3	\[ 0 + \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos x\right) \]
   +-lft-identity [=>] 53.3	\[ \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos x\right)} \]
   metadata-eval [<=] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\color{blue}{0.5 \cdot 1} + -0.5 \cdot \cos x\right) \]
   metadata-eval [<=] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 \cdot 1 + \color{blue}{\left(-0.5\right)} \cdot \cos x\right) \]
   distribute-lft-neg-in [<=] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 \cdot 1 + \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \cos x\right)}\right) \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 \cdot 1 + \color{blue}{0.5 \cdot \left(-\cos x\right)}\right) \]
   distribute-lft-in [<=] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(1 + \left(-\cos x\right)\right)\right)} \]
   metadata-eval [<=] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(1 + \left(-\cos x\right)\right)\right) \]
   sub-neg [<=] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(1 - \cos x\right)}\right) \]
   associate-/r/ [<=] 53.2	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{1 - \cos x}}} \]
   associate-/l* [<=] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(1 - \cos x\right)}{2}} \]
   *-lft-identity [=>] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \frac{\color{blue}{1 - \cos x}}{2} \]
   times-frac [<=] 53.3	\[ \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(1 - \cos x\right)}{\sin x \cdot 2}} \]
   *-commutative [=>] 53.3	\[ \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(1 - \cos x\right)}{\color{blue}{2 \cdot \sin x}} \]
   times-frac [=>] 53.3	\[ \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{2} \cdot \frac{1 - \cos x}{\sin x}} \]
   metadata-eval [=>] 53.3	\[ \color{blue}{1.3333333333333333} \cdot \frac{1 - \cos x}{\sin x} \]
   hang-p0-tan [=>] 99.4	\[ 1.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}{\cos \left(x \cdot 0.5\right)}} \]
   Proof

   [Start] 99.4	\[ 1.3333333333333333 \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\tan \left(\frac{x}{2}\right) \cdot 1.3333333333333333} \]
   tan-quot [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{\cos \left(\frac{x}{2}\right)}} \cdot 1.3333333333333333 \]
   associate-*l/ [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right) \cdot 1.3333333333333333}{\cos \left(\frac{x}{2}\right)}} \]
   div-inv [=>] 99.4	\[ \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot 1.3333333333333333}{\cos \left(\frac{x}{2}\right)} \]
   metadata-eval [=>] 99.4	\[ \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{0.5}\right) \cdot 1.3333333333333333}{\cos \left(\frac{x}{2}\right)} \]
   div-inv [=>] 99.4	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)}} \]
   metadata-eval [=>] 99.4	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}{\cos \left(x \cdot \color{blue}{0.5}\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{1.3333333333333333 \cdot \tan \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \]
   Proof

   [Start] 99.4	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}{\cos \left(x \cdot 0.5\right)} \]
   clear-num [=>] 99.3	\[ \color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}}} \]
   inv-pow [=>] 99.3	\[ \color{blue}{{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}\right)}^{-1}} \]
   clear-num [=>] 99.3	\[ {\color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}{\cos \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}}^{-1} \]
   *-commutative [=>] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{\frac{\color{blue}{1.3333333333333333 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\cos \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}^{-1} \]
   *-un-lft-identity [=>] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{\frac{1.3333333333333333 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{1 \cdot \cos \left(x \cdot 0.5\right)}}}\right)}^{-1} \]
   times-frac [=>] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1.3333333333333333}{1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\cos \left(x \cdot 0.5\right)}}}\right)}^{-1} \]
   metadata-eval [=>] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{\color{blue}{1.3333333333333333} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\cos \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}^{-1} \]
   quot-tan [=>] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{1.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}^{-1} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto {\left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75}}}\right)}^{-1} \]
   Proof

   [Start] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{1.3333333333333333 \cdot \tan \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \]
   /-rgt-identity [<=] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1.3333333333333333 \cdot \tan \left(x \cdot 0.5\right)}{1}}}\right)}^{-1} \]
   *-commutative [=>] 99.3	\[ {\left(\frac{1}{\frac{\color{blue}{\tan \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333}}{1}}\right)}^{-1} \]
   associate-/l* [=>] 99.6	\[ {\left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{1}{1.3333333333333333}}}}\right)}^{-1} \]
   metadata-eval [=>] 99.6	\[ {\left(\frac{1}{\frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75}}}\right)}^{-1} \]

8. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto {\left(\frac{1}{\frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75}}\right)}^{-1} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.5%
Cost	13184

\[{\left(\frac{0.75}{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \]

Alternative 2
Accuracy	99.4%
Cost	6720

\[1.3333333333333333 \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right) \]

Alternative 3
Accuracy	50.3%
Cost	6656

\[{\left(\frac{1.5}{x}\right)}^{-1} \]

Alternative 4
Accuracy	50.2%
Cost	192

\[x \cdot 0.6666666666666666 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023147 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))