invcot (example 3.9)

Average Accuracy: 6.3% → 99.5%

Time: 13.1s

Precision: binary64

Cost: 13504

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot 3} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (fma 0.3333333333333333 x 2.0)
  (/ x (* (fma 0.3333333333333333 x 2.0) 3.0))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

↓

double code(double x) {
	return fma(0.3333333333333333, x, 2.0) * (x / (fma(0.3333333333333333, x, 2.0) * 3.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

↓

function code(x)
	return Float64(fma(0.3333333333333333, x, 2.0) * Float64(x / Float64(fma(0.3333333333333333, x, 2.0) * 3.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(0.3333333333333333 * x + 2.0), $MachinePrecision] * N[(x / N[(N[(0.3333333333333333 * x + 2.0), $MachinePrecision] * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	6.3%
Target	99.9%
Herbie	99.5%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} \]

3. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) - 1} \]
   Proof

   [Start] 99.0	\[ 0.3333333333333333 \cdot x \]
   expm1-log1p-u [=>] 99.0	\[ \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} \]
   expm1-udef [=>] 7.6	\[ \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} - 1} \]
   log1p-udef [=>] 7.6	\[ e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right)}} - 1 \]
   add-exp-log [<=] 7.6	\[ \color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right)} - 1 \]

4. Applied egg-rr 7.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + -1\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x + 2}} \]
   Proof

   [Start] 7.6	\[ \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) - 1 \]
   flip-- [=>] 7.5	\[ \color{blue}{\frac{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) - 1 \cdot 1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1}} \]
   div-inv [=>] 7.5	\[ \color{blue}{\left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1}} \]
   metadata-eval [=>] 7.5	\[ \left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) - \color{blue}{1}\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1} \]
   sub-neg [=>] 7.5	\[ \color{blue}{\left(\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + \left(-1\right)\right)} \cdot \frac{1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1} \]
   pow2 [=>] 7.5	\[ \left(\color{blue}{{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right)}^{2}} + \left(-1\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1} \]
   +-commutative [=>] 7.5	\[ \left({\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 1\right)}}^{2} + \left(-1\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1} \]
   fma-def [=>] 7.5	\[ \left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}}^{2} + \left(-1\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1} \]
   metadata-eval [=>] 7.5	\[ \left({\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + \color{blue}{-1}\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) + 1} \]
   +-commutative [=>] 7.5	\[ \left({\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + -1\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 1\right)} + 1} \]
   associate-+l+ [=>] 7.5	\[ \left({\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + -1\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(1 + 1\right)}} \]
   metadata-eval [=>] 7.5	\[ \left({\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + -1\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{2}} \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}{0.3333333333333333 \cdot x}}} \]
   Proof

   [Start] 7.5	\[ \left({\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + -1\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   associate-*r/ [=>] 7.5	\[ \color{blue}{\frac{\left({\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + -1\right) \cdot 1}{0.3333333333333333 \cdot x + 2}} \]
   *-rgt-identity [=>] 7.5	\[ \frac{\color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)\right)}^{2} + -1}}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   unpow2 [=>] 7.5	\[ \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right)} + -1}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   difference-of-sqr--1 [=>] 7.6	\[ \frac{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right) + 1\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right) - 1\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   fma-udef [=>] 7.6	\[ \frac{\left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 1\right)} + 1\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right) - 1\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   associate-+l+ [=>] 7.6	\[ \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + \left(1 + 1\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right) - 1\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   metadata-eval [=>] 7.6	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 1\right) - 1\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   fma-udef [=>] 7.6	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 2\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 1\right)} - 1\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   associate--l+ [=>] 99.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 2\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + \left(1 - 1\right)\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   metadata-eval [=>] 99.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 2\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{0}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   +-rgt-identity [=>] 99.0	\[ \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 2\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x + 2} \]
   associate-/l* [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot x + 2}{\frac{0.3333333333333333 \cdot x + 2}{0.3333333333333333 \cdot x}}} \]
   fma-def [=>] 98.8	\[ \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}}{\frac{0.3333333333333333 \cdot x + 2}{0.3333333333333333 \cdot x}} \]
   fma-def [=>] 98.8	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x}} \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot 3}} \]
   Proof

   [Start] 98.8	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}{0.3333333333333333 \cdot x}} \]
   div-inv [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}{0.3333333333333333 \cdot x}}} \]
   clear-num [<=] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}} \]
   *-commutative [=>] 99.0	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)} \]
   associate-/l* [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right)}{0.3333333333333333}}} \]
   div-inv [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333}}} \]
   metadata-eval [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \color{blue}{3}} \]

7. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 2\right) \cdot 3} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.4%
Cost	6912

\[0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} \]

Alternative 2
Accuracy	99.1%
Cost	6656

\[{\left(\frac{3}{x}\right)}^{-1} \]

Alternative 3
Accuracy	99.0%
Cost	192

\[0.3333333333333333 \cdot x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023147 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))