Falkner and Boettcher, Appendix B, 1

Average Accuracy: 99.1% → 99.1%

Time: 15.4s

Precision: binary64

Cost: 9152

Math

\[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(v \cdot v\right) \cdot -5\\ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot \left(v \cdot 25\right)\right) \cdot t_0\right)}{1 + \left(t_0 \cdot t_0 - t_0\right)}}{v \cdot v + -1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (v)
 :precision binary64
 (acos (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (- (* v v) 1.0))))

↓

(FPCore (v)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* v v) -5.0)))
   (acos
    (/
     (/
      (+ 1.0 (* (* v v) (* (* v (* v 25.0)) t_0)))
      (+ 1.0 (- (* t_0 t_0) t_0)))
     (+ (* v v) -1.0)))))

C

double code(double v) {
	return acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
}

↓

double code(double v) {
	double t_0 = (v * v) * -5.0;
	return acos((((1.0 + ((v * v) * ((v * (v * 25.0)) * t_0))) / (1.0 + ((t_0 * t_0) - t_0))) / ((v * v) + -1.0)));
}

Fortran

real(8) function code(v)
    real(8), intent (in) :: v
    code = acos(((1.0d0 - (5.0d0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0d0)))
end function

↓

real(8) function code(v)
    real(8), intent (in) :: v
    real(8) :: t_0
    t_0 = (v * v) * (-5.0d0)
    code = acos((((1.0d0 + ((v * v) * ((v * (v * 25.0d0)) * t_0))) / (1.0d0 + ((t_0 * t_0) - t_0))) / ((v * v) + (-1.0d0))))
end function

Java

public static double code(double v) {
	return Math.acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
}

↓

public static double code(double v) {
	double t_0 = (v * v) * -5.0;
	return Math.acos((((1.0 + ((v * v) * ((v * (v * 25.0)) * t_0))) / (1.0 + ((t_0 * t_0) - t_0))) / ((v * v) + -1.0)));
}

Python

def code(v):
	return math.acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)))

↓

def code(v):
	t_0 = (v * v) * -5.0
	return math.acos((((1.0 + ((v * v) * ((v * (v * 25.0)) * t_0))) / (1.0 + ((t_0 * t_0) - t_0))) / ((v * v) + -1.0)))

Julia

function code(v)
	return acos(Float64(Float64(1.0 - Float64(5.0 * Float64(v * v))) / Float64(Float64(v * v) - 1.0)))
end

↓

function code(v)
	t_0 = Float64(Float64(v * v) * -5.0)
	return acos(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(v * v) * Float64(Float64(v * Float64(v * 25.0)) * t_0))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(t_0 * t_0) - t_0))) / Float64(Float64(v * v) + -1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(v)
	tmp = acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
end

↓

function tmp = code(v)
	t_0 = (v * v) * -5.0;
	tmp = acos((((1.0 + ((v * v) * ((v * (v * 25.0)) * t_0))) / (1.0 + ((t_0 * t_0) - t_0))) / ((v * v) + -1.0)));
end

Wolfram

code[v_] := N[ArcCos[N[(N[(1.0 - N[(5.0 * N[(v * v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(v * v), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

↓

code[v_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * -5.0), $MachinePrecision]}, N[ArcCos[N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(v * v), $MachinePrecision] * N[(N[(v * N[(v * 25.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(v * v), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]

2. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   Proof

   [Start] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]
   sub-neg [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{1 + \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   flip3-+ [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{{1}^{3} + {\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{\color{blue}{1} + {\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(-\color{blue}{\left(v \cdot v\right) \cdot 5}\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\color{blue}{\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(-5\right)\right)}}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \color{blue}{-5}\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{\color{blue}{1} + \left(\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(-\color{blue}{\left(v \cdot v\right) \cdot 5}\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\color{blue}{\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(-5\right)\right)} \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \color{blue}{-5}\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(-\color{blue}{\left(v \cdot v\right) \cdot 5}\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(-5\right)\right)} - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \color{blue}{-5}\right) - 1 \cdot \left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   *-un-lft-identity [<=] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \color{blue}{\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(-\color{blue}{\left(v \cdot v\right) \cdot 5}\right)\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]

3. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \color{blue}{\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(25 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   Proof

   [Start] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + {\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}^{3}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   unpow3 [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \color{blue}{\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   associate-*l* [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \color{blue}{\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(-5 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   associate-*l* [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \color{blue}{\left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(-5 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(-5 \cdot \color{blue}{\left(-5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   associate-*r* [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(-5 \cdot -5\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{25} \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]

4. Taylor expanded in v around 0 99.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(25 \cdot {v}^{2}\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]

5. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(v \cdot \left(v \cdot 25\right)\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   Proof

   [Start] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(25 \cdot {v}^{2}\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\color{blue}{\left({v}^{2} \cdot 25\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   unpow2 [=>] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(v \cdot v\right)} \cdot 25\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]
   associate-*r* [<=] 99.1	\[ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(v \cdot \left(v \cdot 25\right)\right)} \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v - 1}\right) \]

6. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot \left(v \cdot 25\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)\right)}{1 + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot -5\right) - \left(v \cdot v\right) \cdot -5\right)}}{v \cdot v + -1}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.1%
Cost	9152

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(v \cdot v\right) \cdot -5\\ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(t_0 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 25\right)\right)}{1 + \left(t_0 \cdot t_0 - t_0\right)}}{v \cdot v + -1}\right) \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	99.1%
Cost	8128

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(v \cdot v\right) \cdot -5\\ \cos^{-1} \left(\frac{\frac{1 - t_0 \cdot t_0}{1 - t_0}}{v \cdot v + -1}\right) \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	98.9%
Cost	7232

\[\cos^{-1} \left(4 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right) + -1\right) \]

Alternative 4
Accuracy	99.1%
Cost	7232

\[\cos^{-1} \left(\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{v \cdot v + -1}\right) \]

Alternative 5
Accuracy	98.6%
Cost	6848

\[\cos^{-1} \left(-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 4\right) \]

Alternative 6
Accuracy	97.9%
Cost	6464

\[\cos^{-1} -1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023146 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 1"
  :precision binary64
  (acos (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (- (* v v) 1.0))))