Toniolo and Linder, Equation (3a)

Average Accuracy: 98.4% → 100.0%

Time: 59.3s

Precision: binary64

Cost: 32960

Math

\[\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), Om\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

↓

\[\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (l Om kx ky)
 :precision binary64
 (sqrt.f64
  (*.f64
   (/.f64 1 2)
   (+.f64
    1
    (/.f64
     1
     (sqrt.f64
      (+.f64
       1
       (*.f64
        (pow.f64 (/.f64 (*.f64 2 l) Om) 2)
        (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 kx) 2) (pow.f64 (sin.f64 ky) 2))))))))))

↓

(FPCore (l Om kx ky)
 :precision binary64
 (sqrt.f64
  (+.f64
   1/2
   (*.f64
    1/2
    (/.f64
     1
     (hypot.f64
      1
      (*.f64
       (hypot.f64 (sin.f64 ky) (sin.f64 kx))
       (*.f64 l (/.f64 2 Om)))))))))

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), Om\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

2. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), Om\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   distribute-rgt-in [=>] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), Om\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right)}\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), Om\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), Om\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right)\right) \]
   associate-/l* [=>] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right)}, 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, 2\right)\right)\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

3. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   expm1-log1p-u [=>] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{expm1.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   expm1-udef [=>] 98.4	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

4. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   expm1-def [=>] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{expm1.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   expm1-log1p [=>] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   hypot-def [<=] 98.8	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   unpow2 [<=] 98.8	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   unpow2 [<=] 98.8	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   +-commutative [<=] 98.8	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   unpow2 [=>] 98.8	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   unpow2 [=>] 98.8	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   hypot-def [=>] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   *-commutative [<=] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right), 2\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   associate-*l/ [=>] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 2\right), Om\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]
   associate-*r/ [<=] 100.0	\[ \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(2, Om\right)\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

5. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	97.9%
Cost	39944

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{-5764607523034235}{144115188075855872}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{4830671903771573}{241533595188578646543459493183249209018682958106652187416077203215719946393097526533512110411370161122653976001968886073585317416315186728483931792091692546793561300926464}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	97.9%
Cost	33161

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{-5764607523034235}{144115188075855872}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{4830671903771573}{241533595188578646543459493183249209018682958106652187416077203215719946393097526533512110411370161122653976001968886073585317416315186728483931792091692546793561300926464}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(Om, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	93.8%
Cost	19968

\[\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 4
Accuracy	85.0%
Cost	13700

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(Om, 40000000000000000557488467837656396522848256\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{hypot.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 2\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	78.6%
Cost	6728

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(Om, -2000000000000000039769249677312\right):\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(Om, 1\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 6
Accuracy	62.5%
Cost	64

\[1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023144 
(FPCore (l Om kx ky)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (3a)"
  :precision binary64
  (sqrt (* (/ 1.0 2.0) (+ 1.0 (/ 1.0 (sqrt (+ 1.0 (* (pow (/ (* 2.0 l) Om) 2.0) (+ (pow (sin kx) 2.0) (pow (sin ky) 2.0))))))))))