Toniolo and Linder, Equation (3b), real

Average Accuracy: 94.0% → 99.7%

Time: 1.7min

Precision: binary64

Cost: 32384

Math

\[\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]

↓

\[\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (kx ky th)
 :precision binary64
 (*.f64
  (/.f64
   (sin.f64 ky)
   (sqrt.f64 (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 kx) 2) (pow.f64 (sin.f64 ky) 2))))
  (sin.f64 th)))

↓

(FPCore (kx ky th)
 :precision binary64
 (*.f64
  (/.f64 (sin.f64 ky) (hypot.f64 (sin.f64 ky) (sin.f64 kx)))
  (sin.f64 th)))

Derivation

1. Initial program 94.0%

   \[\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]

2. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 94.0	\[ \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]
   +-commutative [=>] 94.0	\[ \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)\right)}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]
   unpow2 [=>] 94.0	\[ \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]
   unpow2 [=>] 94.0	\[ \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]
   hypot-def [=>] 99.7	\[ \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]

3. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	74.8%
Cost	52113

\[\begin{array}{l} t_1 := \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\\ t_2 := \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \frac{-6088866696204911}{9007199254740992}\right):\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \frac{-7566047373982433}{18014398509481984}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{sin.f64}\left(th\right)\right), t_1\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \frac{-5764607523034235}{288230376151711744}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \frac{4835703278458517}{2417851639229258349412352}\right):\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(th, t_1\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	77.2%
Cost	39048

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{-7378697629483821}{73786976294838206464}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(th, \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{7737125245533627}{77371252455336267181195264}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	48.1%
Cost	32648

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{-7378697629483821}{73786976294838206464}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(th, \mathsf{/.f64}\left(ky, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{7307508186654515}{730750818665451459101842416358141509827966271488}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(kx, \mathsf{sin.f64}\left(ky\right)\right), th\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	42.3%
Cost	32584

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{-2486616182048933}{124330809102446660538845562036705210025114037699336929360115994223289874253133343883264}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(th, \mathsf{/.f64}\left(ky, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), 2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), \frac{3432398830065305}{6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057152}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	99.6%
Cost	32384

\[\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 6
Accuracy	76.1%
Cost	26897

\[\begin{array}{l} t_1 := \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\\ t_2 := \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -17000000000000001219362531106732342294694521660884438652114011210679918401928191198653813601982711840816352021048766252428236365804953665536\right):\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -16000000000000000797786463550542288272164295767015394425198286889791814385588893046151344245702656\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(th, t_1\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{-3602879701896397}{144115188075855872}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{2115620184325601}{604462909807314587353088}\right):\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{*.f64}\left(t_1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \frac{1}{6}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, ky\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7
Accuracy	76.0%
Cost	26641

\[\begin{array}{l} t_1 := \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\\ t_2 := \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -7499999999999999915783734273912646116444940231311567802140009214799992909416512329377114249052282682535016066024775843044257667244907036672\right):\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -150000000000000007242105897028310384324066895517976487452737010996566384712086740259462762800873472\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(th, t_1\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{-5534023222112865}{4611686018427387904}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{2115620184325601}{604462909807314587353088}\right):\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{*.f64}\left(t_1, \mathsf{/.f64}\left(1, ky\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8
Accuracy	60.2%
Cost	26248

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(th, -7900\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(th, \frac{7656119366529843}{4503599627370496}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(th, \mathsf{hypot.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9
Accuracy	40.6%
Cost	26052

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \frac{2630067950774187}{2630067950774186753620494941440064332775169901411586929749140451534366077148540411056833268138794225613491484428089108856509716125091901931563907385325940424977611835564222299095831878942161358635646625867890688}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10
Accuracy	39.2%
Cost	13384

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3200000000000\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{92463326394405}{2568425733177916751582514591250062824975751856847252861083144972201529372215371495172688738416791235950675277761805770367685269653410060480042878305982363696267199058168185838960773319279454451792623658074112}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(ky, \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 11
Accuracy	39.2%
Cost	13384

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3200000000000\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{7561445358475787}{164379246923386672101280933840004020798448118838224183109321278220897879821783775691052079258674639100843217776755569303531857257818243870722744211582871276561100739722763893693489492433885084914727914116743168}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 12
Accuracy	33.4%
Cost	7116

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3200000000000\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{-6781338732101207}{7371020360979572953596786290992712677572111758625860211672277930167234692172165726730716260112614780354430419981960634569864423105321860610471551272329484460252725248}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(th, \mathsf{/.f64}\left(ky, \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{5116785640315381}{10032913020226237310869197622070557910061530690809581488606035047662224110216294903018315384440590765432325303757053790498770584583633048750167493382743608188543746320969475933440520778435368952314936164352}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(ky, kx\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 13
Accuracy	33.3%
Cost	7116

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3200000000000\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{-7601364747260185}{460688772561223309599799143187044542348256984914116263229517370635452168260760357920669766257038423772151901248872539660616526444082616288154471954520592778765795328}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(ky, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(kx\right), th\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{8604226206146021}{2568425733177916751582514591250062824975751856847252861083144972201529372215371495172688738416791235950675277761805770367685269653410060480042878305982363696267199058168185838960773319279454451792623658074112}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(ky, kx\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 14
Accuracy	33.3%
Cost	7116

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3200000000000\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{-4606887725612233}{1842755090244893238399196572748178169393027939656465052918069482541808673043041431682679065028153695088607604995490158642466105776330465152617887818082371115063181312}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, th\right), \mathsf{sin.f64}\left(kx\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{381250694768597}{5016456510113118655434598811035278955030765345404790744303017523831112055108147451509157692220295382716162651878526895249385292291816524375083746691371804094271873160484737966720260389217684476157468082176}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(ky, kx\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 15
Accuracy	32.7%
Cost	6984

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3200000000000\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{6220406072540267}{40131652080904949243476790488282231640246122763238325954424140190648896440865179612073261537762363061729301215028215161995082338334532195000669973530974432754174985283877903733762083113741475809259744657408}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(th\right), \mathsf{/.f64}\left(ky, kx\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 16
Accuracy	30.0%
Cost	6728

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3200000000000\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{18492665278881}{10273702932711667006330058365000251299903007427389011444332579888806117488861485980690754953667164943802701111047223081470741078613640241920171513223929454785068796232672743355843093277117817807170494632296448}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(ky, \mathsf{/.f64}\left(kx, th\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{sin.f64}\left(th\right)\\ \end{array} \]

Alternative 17
Accuracy	21.5%
Cost	584

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3800000\right):\\ \;\;\;\;th\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{5606965969292389}{266998379490113760299377713271194014325338065294581596243380200977777465722580068752870260867072}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{/.f64}\left(th, kx\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;th\\ \end{array} \]

Alternative 18
Accuracy	21.6%
Cost	584

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -4200000\right):\\ \;\;\;\;th\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{7822218149124427}{65185151242703554760590262029100101153646988597309960020356494379340201592426774597868716032}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{*.f64}\left(th, \mathsf{/.f64}\left(ky, kx\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;th\\ \end{array} \]

Alternative 19
Accuracy	21.6%
Cost	584

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, -3900000\right):\\ \;\;\;\;th\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(ky, \frac{450559765389567}{16687398718132110018711107079449625895333629080911349765211262561111091607661254297054391304192}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{/.f64}\left(th, \mathsf{/.f64}\left(kx, ky\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;th\\ \end{array} \]

Alternative 20
Accuracy	13.4%
Cost	64

\[th \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023144 
(FPCore (kx ky th)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (3b), real"
  :precision binary64
  (* (/ (sin ky) (sqrt (+ (pow (sin kx) 2.0) (pow (sin ky) 2.0)))) (sin th)))