Bouland and Aaronson, Equation (24)

Average Accuracy: 99.7% → 100.0%

Time: 10.8s

Precision: binary64

Cost: 33152

Math

\[\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(3, a\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

↓

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(a, b\right), 4\right), \mathsf{fma.f64}\left(4, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(a, 3\right)\right), -1\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (-.f64
  (+.f64
   (pow.f64 (+.f64 (*.f64 a a) (*.f64 b b)) 2)
   (*.f64
    4
    (+.f64 (*.f64 (*.f64 a a) (-.f64 1 a)) (*.f64 (*.f64 b b) (+.f64 3 a)))))
  1))

↓

(FPCore (a b)
 :precision binary64
 (+.f64
  (pow.f64 (hypot.f64 a b) 4)
  (fma.f64
   4
   (-.f64 (fma.f64 (*.f64 b b) (+.f64 a 3) (*.f64 a a)) (pow.f64 a 3))
   -1)))

Derivation

1. Initial program 99.7%

   \[\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(3, a\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

2. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(a, b\right), 4\right), \mathsf{fma.f64}\left(4, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(a, 3\right)\right), -1\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.7

   \[ \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(3, a\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   associate--l+ [=>] 99.7

   \[ \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(3, a\right)\right)\right)\right), 1\right)\right)} \]

3. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(a, b\right), 4\right), \mathsf{fma.f64}\left(4, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(a, 3\right)\right), -1\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.7%
Cost	8192

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(a, 3\right)\right)\right)\right)\right), -1\right) \]

Alternative 2
Accuracy	97.9%
Cost	7936

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(a, 3\right)\right)\right)\right)\right), -1\right) \]

Alternative 3
Accuracy	97.3%
Cost	7561

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{-4796153459164483}{36893488147419103232}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{7349874591868649}{72057594037927936}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(a, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(1, a\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	95.9%
Cost	7433

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{-3022314549036573}{151115727451828646838272}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{7349874591868649}{72057594037927936}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(a, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right), -1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	97.6%
Cost	7424

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right)\right), -1\right) \]

Alternative 6
Accuracy	95.9%
Cost	7305

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{-3246626956972881}{1180591620717411303424}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{7349874591868649}{72057594037927936}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right), \mathsf{pow.f64}\left(b, 4\right)\right), -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(a, -4\right)\right), -1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7
Accuracy	95.8%
Cost	7241

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{-8689154328480147}{75557863725914323419136}\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{7349874591868649}{72057594037927936}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{fma.f64}\left(b, b, 12\right)\right)\right), -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(a, -4\right)\right), -1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8
Accuracy	95.8%
Cost	7176

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{-6375194751874021}{2361183241434822606848}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), -1\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{7349874591868649}{72057594037927936}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(a, -4\right)\right), -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right)\right), -1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9
Accuracy	95.1%
Cost	6920

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{-1851167661284901}{18889465931478580854784}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), -1\right)\\ \mathbf{elif}\;\mathsf{<=.f64}\left(b, \frac{7349874591868649}{72057594037927936}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(a, 4\right), -1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right)\right), -1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10
Accuracy	95.3%
Cost	6793

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\mathsf{<=.f64}\left(a, -10000000000000\right) \lor \neg \mathsf{<=.f64}\left(a, 740\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{pow.f64}\left(a, 4\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right)\right), -1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 11
Accuracy	81.6%
Cost	704

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right)\right), -1\right) \]

Alternative 12
Accuracy	64.8%
Cost	448

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), -1\right) \]

Alternative 13
Accuracy	65.0%
Cost	448

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), 12\right), -1\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023144 
(FPCore (a b)
  :name "Bouland and Aaronson, Equation (24)"
  :precision binary64
  (- (+ (pow (+ (* a a) (* b b)) 2.0) (* 4.0 (+ (* (* a a) (- 1.0 a)) (* (* b b) (+ 3.0 a))))) 1.0))