2-ancestry mixing, positive discriminant

Average Accuracy: 44.6% → 95.8%

Time: 17.2s

Precision: binary64

Cost: 19840

Math

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(g, g\right), \mathsf{*.f64}\left(h, h\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(g, g\right), \mathsf{*.f64}\left(h, h\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

↓

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(g\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (g h a)
 :precision binary64
 (+.f64
  (cbrt.f64
   (*.f64
    (/.f64 1 (*.f64 2 a))
    (+.f64 (neg.f64 g) (sqrt.f64 (-.f64 (*.f64 g g) (*.f64 h h))))))
  (cbrt.f64
   (*.f64
    (/.f64 1 (*.f64 2 a))
    (-.f64 (neg.f64 g) (sqrt.f64 (-.f64 (*.f64 g g) (*.f64 h h))))))))

↓

(FPCore (g h a)
 :precision binary64
 (+.f64
  (cbrt.f64 (*.f64 0 (/.f64 -1/2 a)))
  (/.f64 (cbrt.f64 g) (cbrt.f64 (neg.f64 a)))))

Derivation

1. Initial program 44.6%

   \[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(g, g\right), \mathsf{*.f64}\left(h, h\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(g, g\right), \mathsf{*.f64}\left(h, h\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

2. Simplified 44.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 44.6

   \[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(g, g\right), \mathsf{*.f64}\left(h, h\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(g, g\right), \mathsf{*.f64}\left(h, h\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Taylor expanded in g around inf 23.3%

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(-1, h\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right) \]

4. Simplified 23.3%

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{0}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 23.3	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(h, \mathsf{*.f64}\left(-1, h\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right) \]
   distribute-rgt1-in [=>] 23.3	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, 1\right), h\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 23.3	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{0}, h\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right) \]
   mul0-lft [=>] 23.3	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{0}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 23.3	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{0}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(g, h\right), \mathsf{\_.f64}\left(g, h\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right)\right) \]

5. Taylor expanded in g around inf 73.2%

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(g, a\right)\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 73.2%

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), a\right)}\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 73.2	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(g, a\right)\right)\right)\right) \]
   associate-*r/ [=>] 73.2	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, g\right), a\right)}\right)\right) \]
   mul-1-neg [=>] 73.2	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f64}\left(g\right)}, a\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(g\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right)\right)}\right) \]
   Proof

   [Start] 73.2	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), a\right)\right)\right) \]
   frac-2neg [=>] 73.2	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right)}\right)\right) \]
   cbrt-div [=>] 95.8	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right)\right)}\right) \]
   remove-double-neg [=>] 95.8	\[ \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\color{blue}{g}\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(g\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right)\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	73.2%
Cost	13632

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(g, g\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 2
Accuracy	73.2%
Cost	13440

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(g\right), a\right)\right)\right) \]

Alternative 3
Accuracy	1.3%
Cost	13376

\[\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, a\right)\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(g, a\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023144 
(FPCore (g h a)
  :name "2-ancestry mixing, positive discriminant"
  :precision binary64
  (+ (cbrt (* (/ 1.0 (* 2.0 a)) (+ (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h)))))) (cbrt (* (/ 1.0 (* 2.0 a)) (- (- g) (sqrt (- (* g g) (* h h))))))))