invcot (example 3.9)

Average Accuracy: 6.6% → 99.8%

Time: 13.8s

Precision: binary64

Cost: 6976

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

↓

\[\frac{x}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ x (/ 1.0 (fma 0.022222222222222223 (* x x) 0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

↓

double code(double x) {
	return x / (1.0 / fma(0.022222222222222223, (x * x), 0.3333333333333333));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

↓

function code(x)
	return Float64(x / Float64(1.0 / fma(0.022222222222222223, Float64(x * x), 0.3333333333333333)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(x / N[(1.0 / N[(0.022222222222222223 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	6.6%
Target	99.8%
Herbie	99.8%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

3. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.3	\[ 0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} \]
   +-commutative [=>] 99.3	\[ \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]
   *-commutative [=>] 99.3	\[ \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.022222222222222223} + 0.3333333333333333 \cdot x \]
   cube-mult [=>] 99.3	\[ \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.022222222222222223 + 0.3333333333333333 \cdot x \]
   associate-*l* [=>] 99.3	\[ \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right)} + 0.3333333333333333 \cdot x \]
   *-commutative [=>] 99.3	\[ x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223\right) + \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333} \]
   distribute-lft-out [=>] 99.3	\[ \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.022222222222222223 + 0.3333333333333333\right)} \]
   *-commutative [=>] 99.3	\[ x \cdot \left(\color{blue}{0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.3333333333333333\right) \]

4. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}}} \]
   Proof

   [Start] 99.3	\[ x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right) \]
   flip-+ [=>] 99.3	\[ x \cdot \color{blue}{\frac{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333}{0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.3333333333333333}} \]
   associate-*r/ [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\frac{x \cdot \left(\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.3333333333333333}} \]
   associate-/l* [=>] 99.9	\[ \color{blue}{\frac{x}{\frac{0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.3333333333333333}{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333}}} \]
   clear-num [=>] 99.9	\[ \frac{x}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333}{0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.3333333333333333}}}} \]
   flip-+ [<=] 99.8	\[ \frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333}}} \]
   fma-def [=>] 99.8	\[ \frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}}} \]

5. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \frac{x}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.6%
Cost	704

\[\frac{1}{\frac{1}{\frac{x}{3}} + x \cdot -0.2} \]

Alternative 2
Accuracy	99.3%
Cost	576

\[x \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 3
Accuracy	98.9%
Cost	320

\[\frac{1}{\frac{3}{x}} \]

Alternative 4
Accuracy	98.8%
Cost	192

\[x \cdot 0.3333333333333333 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023143 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))