Hyperbolic tangent

Average Accuracy: 9.0% → 97.2%

Time: 7.2s

Precision: binary64

Cost: 576

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

↓

\[\frac{x}{1 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))

↓

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (+ 1.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
}

↓

double code(double x) {
	return x / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (1.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

↓

public static double code(double x) {
	return x / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)));
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

↓

def code(x):
	return x / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

↓

function code(x)
	return Float64(x / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = x / (1.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(x / N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 7.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]

3. Simplified 7.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]
   Proof

   [Start] 7.9	\[ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + {x}^{2}} \]
   unpow2 [=>] 7.9	\[ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2 + x \cdot x} \]

5. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
   Proof

   [Start] 97.2	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + x \cdot x} \]
   unpow3 [=>] 97.2	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2 + x \cdot x} \]
   unpow2 [<=] 97.2	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2 + x \cdot x} \]
   associate-*r* [=>] 97.2	\[ \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
   distribute-rgt-out [=>] 97.2	\[ \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2 + x \cdot x} \]
   +-commutative [<=] 97.2	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
   fma-def [=>] 97.2	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{2}, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
   unpow2 [=>] 97.2	\[ \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

6. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{-2 - x \cdot x}} \]
   Proof

   [Start] 97.2	\[ \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{2 + x \cdot x} \]
   frac-2neg [=>] 97.2	\[ \color{blue}{\frac{-x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{-\left(2 + x \cdot x\right)}} \]
   distribute-frac-neg [=>] 97.2	\[ \color{blue}{-\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{-\left(2 + x \cdot x\right)}} \]
   neg-sub0 [=>] 97.2	\[ -\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{\color{blue}{0 - \left(2 + x \cdot x\right)}} \]
   metadata-eval [<=] 97.2	\[ -\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{\color{blue}{\log 1} - \left(2 + x \cdot x\right)} \]
   associate--r+ [=>] 97.2	\[ -\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{\color{blue}{\left(\log 1 - 2\right) - x \cdot x}} \]
   metadata-eval [=>] 97.2	\[ -\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{\left(\color{blue}{0} - 2\right) - x \cdot x} \]
   metadata-eval [=>] 97.2	\[ -\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{\color{blue}{-2} - x \cdot x} \]

7. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{-2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)}}} \]
   Proof

   [Start] 97.2	\[ -\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{-2 - x \cdot x} \]
   distribute-neg-frac [=>] 97.2	\[ \color{blue}{\frac{-x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{-2 - x \cdot x}} \]
   distribute-rgt-neg-out [<=] 97.2	\[ \frac{\color{blue}{x \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)\right)}}{-2 - x \cdot x} \]
   associate-/l* [=>] 97.2	\[ \color{blue}{\frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{-\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}} \]
   neg-sub0 [=>] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{\color{blue}{0 - \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}} \]
   fma-udef [=>] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{0 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}} \]
   unpow2 [<=] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{0 - \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{2}} + 2\right)}} \]
   *-commutative [=>] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{0 - \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}} \]
   unpow2 [=>] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{0 - \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}} \]
   associate-*r* [<=] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{0 - \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}} \]
   +-commutative [=>] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{0 - \color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]
   associate--r+ [=>] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{\color{blue}{\left(0 - 2\right) - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)}}} \]
   metadata-eval [=>] 97.2	\[ \frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{\color{blue}{-2} - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{1 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}}} \]

9. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]
   Proof

   [Start] 97.2	\[ \frac{x}{1 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} \]
   *-commutative [=>] 97.2	\[ \frac{x}{1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}} \]
   unpow2 [=>] 97.2	\[ \frac{x}{1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]
   associate-*r* [<=] 97.2	\[ \frac{x}{1 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]
   *-commutative [=>] 97.2	\[ \frac{x}{1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

10. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \frac{x}{1 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	5.0%
Cost	64

\[1 \]

Alternative 2
Accuracy	96.7%
Cost	64

\[x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023141 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))