ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Accuracy: 53.3% → 99.5%

Time: 19.8s

Precision: binary64

Cost: 20096

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)));
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	53.3%
Target	98.8%
Herbie	99.5%

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(-2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} \cdot {x}^{9} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7} + -0.008333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.4%
Cost	7040

\[-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 2
Accuracy	99.0%
Cost	6848

\[\frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 2, \frac{6}{x}\right)} \]

Alternative 3
Accuracy	98.9%
Cost	704

\[\frac{x}{x \cdot 2 + 6 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 4
Accuracy	98.8%
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 5
Accuracy	98.8%
Cost	320

\[x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 6
Accuracy	98.9%
Cost	320

\[\frac{x}{\frac{6}{x}} \]

Alternative 7
Accuracy	4.2%
Cost	64

\[1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023140 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))