?

Average Accuracy: 99.6% → 99.1%
Time: 26.5s
Precision: binary32
Cost: 69728

?

\[\left(\left(\left(\left(-1 \leq cosTheta_i \land cosTheta_i \leq 1\right) \land \left(-1 \leq cosTheta_O \land cosTheta_O \leq 1\right)\right) \land \left(-1 \leq sinTheta_i \land sinTheta_i \leq 1\right)\right) \land \left(-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1\right)\right) \land \left(-1.5707964 \leq v \land v \leq 0.1\right)\]
\[e^{\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right) + \log \left(\frac{1}{2 \cdot v}\right)} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\\ t_1 := t_0 \cdot t_0\\ \left({\left({\left(t_1 \cdot t_1\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O + \left(-1 - sinTheta_i \cdot sinTheta_O\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \end{array} \]
(FPCore (cosTheta_i cosTheta_O sinTheta_i sinTheta_O v)
 :precision binary32
 (exp
  (+
   (+
    (-
     (- (/ (* cosTheta_i cosTheta_O) v) (/ (* sinTheta_i sinTheta_O) v))
     (/ 1.0 v))
    0.6931)
   (log (/ 1.0 (* 2.0 v))))))
↓
(FPCore (cosTheta_i cosTheta_O sinTheta_i sinTheta_O v)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (pow
          (pow
           (exp
            (+
             0.6931
             (/
              (- (* cosTheta_i cosTheta_O) (fma sinTheta_i sinTheta_O 1.0))
              v)))
           1.5)
          0.16666666666666666))
        (t_1 (* t_0 t_0)))
   (*
    (*
     (pow (pow (* t_1 t_1) 1.5) 0.3333333333333333)
     (pow
      (pow
       (exp
        (+
         0.6931
         (*
          (/ 1.0 v)
          (+ (* cosTheta_i cosTheta_O) (- -1.0 (* sinTheta_i sinTheta_O))))))
       1.5)
      0.3333333333333333))
    (/ 0.5 v))))
float code(float cosTheta_i, float cosTheta_O, float sinTheta_i, float sinTheta_O, float v) {
	return expf(((((((cosTheta_i * cosTheta_O) / v) - ((sinTheta_i * sinTheta_O) / v)) - (1.0f / v)) + 0.6931f) + logf((1.0f / (2.0f * v)))));
}
↓
float code(float cosTheta_i, float cosTheta_O, float sinTheta_i, float sinTheta_O, float v) {
	float t_0 = powf(powf(expf((0.6931f + (((cosTheta_i * cosTheta_O) - fmaf(sinTheta_i, sinTheta_O, 1.0f)) / v))), 1.5f), 0.16666666666666666f);
	float t_1 = t_0 * t_0;
	return (powf(powf((t_1 * t_1), 1.5f), 0.3333333333333333f) * powf(powf(expf((0.6931f + ((1.0f / v) * ((cosTheta_i * cosTheta_O) + (-1.0f - (sinTheta_i * sinTheta_O)))))), 1.5f), 0.3333333333333333f)) * (0.5f / v);
}

function code(cosTheta_i, cosTheta_O, sinTheta_i, sinTheta_O, v)
	return exp(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(cosTheta_i * cosTheta_O) / v) - Float32(Float32(sinTheta_i * sinTheta_O) / v)) - Float32(Float32(1.0) / v)) + Float32(0.6931)) + log(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(2.0) * v)))))
end
↓
function code(cosTheta_i, cosTheta_O, sinTheta_i, sinTheta_O, v)
	t_0 = (exp(Float32(Float32(0.6931) + Float32(Float32(Float32(cosTheta_i * cosTheta_O) - fma(sinTheta_i, sinTheta_O, Float32(1.0))) / v))) ^ Float32(1.5)) ^ Float32(0.16666666666666666)
	t_1 = Float32(t_0 * t_0)
	return Float32(Float32(((Float32(t_1 * t_1) ^ Float32(1.5)) ^ Float32(0.3333333333333333)) * ((exp(Float32(Float32(0.6931) + Float32(Float32(Float32(1.0) / v) * Float32(Float32(cosTheta_i * cosTheta_O) + Float32(Float32(-1.0) - Float32(sinTheta_i * sinTheta_O)))))) ^ Float32(1.5)) ^ Float32(0.3333333333333333))) * Float32(Float32(0.5) / v))
end

e^{\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right) + \log \left(\frac{1}{2 \cdot v}\right)}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\\
t_1 := t_0 \cdot t_0\\
\left({\left({\left(t_1 \cdot t_1\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O + \left(-1 - sinTheta_i \cdot sinTheta_O\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v}
\end{array}

Error?

Derivation?

  1. Initial program 99.6%

    \[e^{\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right) + \log \left(\frac{1}{2 \cdot v}\right)} \]

  2. Simplified99.6%

    \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)} \cdot \frac{0.5}{v}} \]
    Proof

    [Start]99.6

    \[ e^{\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right) + \log \left(\frac{1}{2 \cdot v}\right)} \]

    remove-double-neg [<=]99.6

    \[ e^{\color{blue}{\left(-\left(-\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right)\right)\right)} + \log \left(\frac{1}{2 \cdot v}\right)} \]

    +-commutative [<=]99.6

    \[ e^{\color{blue}{\log \left(\frac{1}{2 \cdot v}\right) + \left(-\left(-\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right)\right)\right)}} \]

    log-rec [=>]99.7

    \[ e^{\color{blue}{\left(-\log \left(2 \cdot v\right)\right)} + \left(-\left(-\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right)\right)\right)} \]

    distribute-neg-in [<=]99.7

    \[ e^{\color{blue}{-\left(\log \left(2 \cdot v\right) + \left(-\left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right)\right)\right)}} \]

    sub-neg [<=]99.7

    \[ e^{-\color{blue}{\left(\log \left(2 \cdot v\right) - \left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right)\right)}} \]

    sub0-neg [<=]99.7

    \[ e^{\color{blue}{0 - \left(\log \left(2 \cdot v\right) - \left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right)\right)}} \]

    associate-+l- [<=]99.7

    \[ e^{\color{blue}{\left(0 - \log \left(2 \cdot v\right)\right) + \left(\left(\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}\right) - \frac{1}{v}\right) + 0.6931\right)}} \]

  3. Applied egg-rr98.6%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(e^{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v} + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \frac{0.5}{v} \]
    Proof

    [Start]99.6

    \[ e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    add-cbrt-cube [=>]98.6

    \[ \color{blue}{\sqrt[3]{\left(e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)} \cdot e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right) \cdot e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}}} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    pow1/3 [=>]98.6

    \[ \color{blue}{{\left(\left(e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)} \cdot e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right) \cdot e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    pow3 [=>]98.6

    \[ {\color{blue}{\left({\left(e^{\left(\frac{cosTheta_i}{v} \cdot cosTheta_O - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    associate-*l/ [=>]98.6

    \[ {\left({\left(e^{\left(\color{blue}{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v}} - \frac{sinTheta_i}{v} \cdot sinTheta_O\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    associate-*l/ [=>]98.6

    \[ {\left({\left(e^{\left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} - \color{blue}{\frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}}\right) + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    sub-div [=>]98.6

    \[ {\left({\left(e^{\color{blue}{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v}} + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{0.5}{v} \]

  4. Applied egg-rr99.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \cdot \frac{0.5}{v} \]
    Proof

    [Start]98.6

    \[ {\left({\left(e^{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v} + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    add-sqr-sqrt [=>]98.6

    \[ {\color{blue}{\left(\sqrt{{\left(e^{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v} + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}} \cdot \sqrt{{\left(e^{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v} + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}}\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot \frac{0.5}{v} \]

    unpow-prod-down [=>]98.6

    \[ \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{\left(e^{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v} + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt{{\left(e^{\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v} + \left(\frac{-1}{v} + 0.6931\right)}\right)}^{3}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \cdot \frac{0.5}{v} \]

  5. Applied egg-rr99.1%

    \[\leadsto \left({\left({\color{blue}{\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]
    Proof

    [Start]99.1

    \[ \left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    pow1 [=>]99.1

    \[ \left({\left({\color{blue}{\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1}\right)}}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    sqr-pow [=>]99.1

    \[ \left({\left({\color{blue}{\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\color{blue}{0.5}} \cdot {\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [<=]99.1

    \[ \left({\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\color{blue}{\left(1.5 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot {\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    pow-pow [<=]99.1

    \[ \left({\left({\left(\color{blue}{{\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot {\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\color{blue}{0.5}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [<=]99.1

    \[ \left({\left({\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{\color{blue}{\left(1.5 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    pow-pow [<=]99.1

    \[ \left({\left({\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{{\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    pow-prod-up [=>]99.1

    \[ \left({\left({\color{blue}{\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}\right)}}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

  6. Simplified99.1%

    \[\leadsto \left({\left({\color{blue}{\left(\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\right)\right)}}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]
    Proof

    [Start]99.1

    \[ \left({\left({\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    sqr-pow [=>]99.1

    \[ \left({\left({\color{blue}{\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)}\right)}}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    sqr-pow [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left(\color{blue}{\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left(\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left(\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.6666666666666666}{2}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left(\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\color{blue}{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    sqr-pow [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left(\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

    metadata-eval [=>]99.1

    \[ \left({\left({\left(\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \left(sinTheta_i \cdot sinTheta_O - -1\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

  7. Final simplification99.1%

    \[\leadsto \left({\left({\left(\left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\right)\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O + \left(-1 - sinTheta_i \cdot sinTheta_O\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{0.5}{v} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy99.1%
Cost63296
\[\begin{array}{l} t_0 := {\left({\left(e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}}\right)}^{1.5}\right)}^{0.16666666666666666}\\ \frac{0.5}{v} \cdot \left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O + \left(-1 - sinTheta_i \cdot sinTheta_O\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left({\left(\left(t_0 \cdot t_0\right) \cdot \left(t_0 \cdot {\left(e^{0.25}\right)}^{\left(0.6931 - \left(\frac{1}{v} - \frac{cosTheta_i}{\frac{v}{cosTheta_O}}\right)\right)}\right)\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \end{array} \]
Alternative 2
Accuracy99.1%
Cost17152
\[\frac{0.5}{v} \cdot \left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O + \left(-1 - sinTheta_i \cdot sinTheta_O\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(e^{1.5 \cdot \left(\left(0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v}\right) + \frac{-1}{v}\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]
Alternative 3
Accuracy99.1%
Cost17120
\[\frac{0.5}{v} \cdot \left({\left({\left(e^{0.6931 + \frac{1}{v} \cdot \left(cosTheta_i \cdot cosTheta_O + \left(-1 - sinTheta_i \cdot sinTheta_O\right)\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot e^{\left(0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O - \mathsf{fma}\left(sinTheta_i, sinTheta_O, 1\right)}{v}\right) \cdot 0.5}\right) \]
Alternative 4
Accuracy99.6%
Cost7008
\[e^{\frac{1}{\frac{1}{cosTheta_i \cdot \frac{cosTheta_O}{v} + \left(\log \left(\frac{0.5}{v}\right) + \left(0.6931 - \frac{1}{v}\right)\right)}}} \]
Alternative 5
Accuracy99.6%
Cost6880
\[e^{\left(0.6931 + \left(\frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O}{v} + \log \left(\frac{0.5}{v}\right)\right)\right) + \frac{-1}{v}} \]
Alternative 6
Accuracy99.6%
Cost6816
\[e^{0.6931 + \left(\log \left(\frac{0.5}{v}\right) + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O + -1}{v}\right)} \]
Alternative 7
Accuracy99.6%
Cost3616
\[\frac{0.5}{v} \cdot e^{0.6931 + \frac{cosTheta_i \cdot cosTheta_O + -1}{v}} \]
Alternative 8
Accuracy99.6%
Cost3488
\[\frac{0.5}{v} \cdot e^{0.6931 - \frac{1}{v}} \]
Alternative 9
Accuracy97.9%
Cost3296
\[e^{\frac{-1}{v}} \]
Alternative 10
Accuracy39.1%
Cost224
\[\frac{1}{\frac{v}{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}} \]
Alternative 11
Accuracy20.3%
Cost160
\[sinTheta_O \cdot \frac{sinTheta_i}{v} \]
Alternative 12
Accuracy20.3%
Cost160
\[sinTheta_i \cdot \frac{sinTheta_O}{v} \]
Alternative 13
Accuracy38.9%
Cost160
\[\frac{sinTheta_i \cdot sinTheta_O}{v} \]
Alternative 14
Accuracy6.4%
Cost32
\[1 \]

Error

Reproduce?

herbie shell --seed 2023138 
(FPCore (cosTheta_i cosTheta_O sinTheta_i sinTheta_O v)
  :name "HairBSDF, Mp, lower"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (<= -1.0 cosTheta_i) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= -1.0 cosTheta_O) (<= cosTheta_O 1.0))) (and (<= -1.0 sinTheta_i) (<= sinTheta_i 1.0))) (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0))) (and (<= -1.5707964 v) (<= v 0.1)))
  (exp (+ (+ (- (- (/ (* cosTheta_i cosTheta_O) v) (/ (* sinTheta_i sinTheta_O) v)) (/ 1.0 v)) 0.6931) (log (/ 1.0 (* 2.0 v))))))