ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Accuracy: 53.4% → 99.3%

Time: 19.4s

Precision: binary64

Cost: 704

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x x) (+ (* (* x x) -0.06388888888888888) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return (x * x) * (((x * x) * -0.06388888888888888) + 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * (((x * x) * (-0.06388888888888888d0)) + 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return (x * x) * (((x * x) * -0.06388888888888888) + 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return (x * x) * (((x * x) * -0.06388888888888888) + 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * -0.06388888888888888) + 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * (((x * x) * -0.06388888888888888) + 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	53.4%
Target	98.7%
Herbie	99.3%

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 53.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.3	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
   unpow2 [=>] 99.3	\[ 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
   fma-def [=>] 99.3	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

4. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
   Proof

   [Start] 99.3	\[ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
   fma-udef [=>] 99.3	\[ \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
   associate-*r* [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

5. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.16666666666666666\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.4	\[ \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
   +-commutative [=>] 99.4	\[ \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]
   *-commutative [=>] 99.4	\[ \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x \]
   add-sqr-sqrt [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot \sqrt{{x}^{4}}\right)} \cdot -0.06388888888888888 + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x \]
   associate-*l* [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\sqrt{{x}^{4}} \cdot \left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot -0.06388888888888888\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x \]
   sqrt-pow1 [=>] 99.4	\[ \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \cdot \left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot -0.06388888888888888\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x \]
   metadata-eval [=>] 99.4	\[ {x}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot -0.06388888888888888\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x \]
   unpow2 [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot -0.06388888888888888\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x \]
   associate-*l* [=>] 99.3	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot -0.06388888888888888\right) + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
   *-commutative [=>] 99.3	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot -0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]
   distribute-lft-out [=>] 99.3	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{{x}^{4}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right)} \]
   sqrt-pow1 [=>] 99.3	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.3	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{2}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right) \]
   unpow2 [=>] 99.3	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right) \]
   *-commutative [=>] 99.3	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.16666666666666666\right) \]

6. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.4%
Cost	704

\[x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 2
Accuracy	98.7%
Cost	320

\[\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]

Alternative 3
Accuracy	98.8%
Cost	320

\[x \cdot \frac{x}{6} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023138 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))