math.exp on complex, imaginary part

Average Accuracy: 100.0% → 99.2%

Time: 10.3s

Precision: binary64

Cost: 13892

Math

\[e^{re} \cdot \sin im \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{re} \leq 0:\\ \;\;\;\;e^{re} \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (exp re) (sin im)))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (exp re) 0.0)
   (* (exp re) im)
   (*
    (sin im)
    (+ (+ re 1.0) (* (* re re) (+ 0.5 (* re 0.16666666666666666)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return exp(re) * sin(im);
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (exp(re) <= 0.0) {
		tmp = exp(re) * im;
	} else {
		tmp = sin(im) * ((re + 1.0) + ((re * re) * (0.5 + (re * 0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = exp(re) * sin(im)
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (exp(re) <= 0.0d0) then
        tmp = exp(re) * im
    else
        tmp = sin(im) * ((re + 1.0d0) + ((re * re) * (0.5d0 + (re * 0.16666666666666666d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.exp(re) * Math.sin(im);
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.exp(re) <= 0.0) {
		tmp = Math.exp(re) * im;
	} else {
		tmp = Math.sin(im) * ((re + 1.0) + ((re * re) * (0.5 + (re * 0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	return math.exp(re) * math.sin(im)

↓

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.exp(re) <= 0.0:
		tmp = math.exp(re) * im
	else:
		tmp = math.sin(im) * ((re + 1.0) + ((re * re) * (0.5 + (re * 0.16666666666666666))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	return Float64(exp(re) * sin(im))
end

↓

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (exp(re) <= 0.0)
		tmp = Float64(exp(re) * im);
	else
		tmp = Float64(sin(im) * Float64(Float64(re + 1.0) + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.5 + Float64(re * 0.16666666666666666)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = exp(re) * sin(im);
end

↓

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (exp(re) <= 0.0)
		tmp = exp(re) * im;
	else
		tmp = sin(im) * ((re + 1.0) + ((re * re) * (0.5 + (re * 0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Exp[re], $MachinePrecision] * N[Sin[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := If[LessEqual[N[Exp[re], $MachinePrecision], 0.0], N[(N[Exp[re], $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision], N[(N[Sin[im], $MachinePrecision] * N[(N[(re + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (exp.f64 re) < 0.0

   1. Initial program 100.0%

      \[e^{re} \cdot \sin im \]

   2. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{re} \cdot im} \]

   if 0.0 < (exp.f64 re)

   1. Initial program 99.9%

      \[e^{re} \cdot \sin im \]

   2. Taylor expanded in re around 0 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin im + \left(\sin im \cdot re + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{3}\right) + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
      Proof

      [Start] 98.8	\[ \sin im + \left(\sin im \cdot re + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{3}\right) + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]
      associate-+r+ [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\left(\sin im + \sin im \cdot re\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{3}\right) + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
      *-rgt-identity [<=] 98.8	\[ \left(\color{blue}{\sin im \cdot 1} + \sin im \cdot re\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{3}\right) + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      distribute-lft-in [<=] 98.8	\[ \color{blue}{\sin im \cdot \left(1 + re\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{3}\right) + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      +-commutative [<=] 98.8	\[ \sin im \cdot \color{blue}{\left(re + 1\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{3}\right) + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      *-commutative [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(re + 1\right) + \left(\color{blue}{\left(\sin im \cdot {re}^{3}\right) \cdot 0.16666666666666666} + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      associate-*l* [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(re + 1\right) + \left(\color{blue}{\sin im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} + 0.5 \cdot \left(\sin im \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      *-commutative [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(re + 1\right) + \left(\sin im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \cdot \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \sin im\right)}\right) \]
      associate-*r* [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(re + 1\right) + \left(\sin im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot {re}^{2}\right) \cdot \sin im}\right) \]
      *-commutative [<=] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(re + 1\right) + \left(\sin im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) + \color{blue}{\sin im \cdot \left(0.5 \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]
      distribute-lft-out [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(re + 1\right) + \color{blue}{\sin im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + 0.5 \cdot {re}^{2}\right)} \]
      distribute-lft-out [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + 0.5 \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
      *-commutative [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}} + 0.5 \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      cube-mult [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} + 0.5 \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      unpow2 [<=] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \color{blue}{{re}^{2}}\right) + 0.5 \cdot {re}^{2}\right)\right) \]
      associate-*r* [=>] 98.8	\[ \sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot re\right) \cdot {re}^{2}} + 0.5 \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{re} \leq 0:\\ \;\;\;\;e^{re} \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.1%
Cost	13700

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{re} \leq 0:\\ \;\;\;\;e^{re} \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-\sin im}{re + \left(-1 - re \cdot \left(re \cdot 0.5\right)\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	99.1%
Cost	13636

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{re} \leq 0:\\ \;\;\;\;e^{re} \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin im \cdot \left(\left(re + 1\right) + re \cdot \left(re \cdot 0.5\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	98.8%
Cost	13316

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{re} \leq 0:\\ \;\;\;\;e^{re} \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-\sin im}{re + -1}\\ \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	98.9%
Cost	13252

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{re} \leq 0:\\ \;\;\;\;e^{re} \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin im \cdot \left(re + 1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	67.8%
Cost	13124

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{re} \leq 1:\\ \;\;\;\;e^{re} \cdot im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin im\\ \end{array} \]

Alternative 6
Accuracy	100.0%
Cost	12992

\[e^{re} \cdot \sin im \]

Alternative 7
Accuracy	69.3%
Cost	6596

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -110000:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot re + -1\right)}{re \cdot im - im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin im\\ \end{array} \]

Alternative 8
Accuracy	38.7%
Cost	1092

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -110000:\\ \;\;\;\;\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot re + -1\right)}{re \cdot im - im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im + im \cdot \left(re + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9
Accuracy	38.2%
Cost	836

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -0.000146:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)\right) + -1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im + im \cdot \left(re + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10
Accuracy	35.0%
Cost	64

\[im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023138 
(FPCore (re im)
  :name "math.exp on complex, imaginary part"
  :precision binary64
  (* (exp re) (sin im)))