ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Accuracy: 53.5% → 99.6%

Time: 19.7s

Precision: binary64

Cost: 20480

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* x (* x 0.16666666666666666))
  (+
   (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
   (+
    (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
    (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return (x * (x * 0.16666666666666666)) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (x * 0.16666666666666666d0)) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return (x * (x * 0.16666666666666666)) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))));
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return (x * (x * 0.16666666666666666)) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (x * 0.16666666666666666)) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	53.5%
Target	98.7%
Herbie	99.6%

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

3. Applied egg-rr 53.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + -1\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 99.6	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   expm1-log1p-u [=>] 99.6	\[ \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   expm1-udef [=>] 53.1	\[ \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} - 1\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   sub-neg [=>] 53.1	\[ \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} + \left(-1\right)\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   unpow2 [=>] 53.1	\[ \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)} + \left(-1\right)\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 53.1	\[ \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \color{blue}{-1}\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

4. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 53.1	\[ \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + -1\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   metadata-eval [<=] 53.1	\[ \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \color{blue}{\left(-1\right)}\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   sub-neg [<=] 53.1	\[ \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - 1\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   expm1-def [=>] 99.6	\[ \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   expm1-log1p [=>] 99.6	\[ \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

6. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 99.6	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   unpow2 [=>] 99.6	\[ 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   associate-*r* [=>] 99.6	\[ \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 99.6	\[ \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.6%
Cost	20480

\[\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 2
Accuracy	99.5%
Cost	13760

\[\left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 3
Accuracy	99.3%
Cost	704

\[\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 4
Accuracy	98.7%
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 5
Accuracy	98.8%
Cost	320

\[x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023137 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))