math.cos on complex, imaginary part

Average Accuracy: 31.3% → 98.8%

Time: 16.6s

Precision: binary64

Cost: 45824

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\mathsf{fma}\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im, \sin re, \sin re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.16666666666666666, {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (fma
  (- (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333) im)
  (sin re)
  (*
   (sin re)
   (fma
    (pow im 3.0)
    -0.16666666666666666
    (* (pow im 7.0) -0.0001984126984126984)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return fma(((pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) - im), sin(re), (sin(re) * fma(pow(im, 3.0), -0.16666666666666666, (pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984))));
}

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return fma(Float64(Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333) - im), sin(re), Float64(sin(re) * fma((im ^ 3.0), -0.16666666666666666, Float64((im ^ 7.0) * -0.0001984126984126984))))
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666 + N[(N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	31.3%
Target	99.5%
Herbie	98.8%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 31.3%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right) + \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 98.8	\[ -0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right) \]
   associate-+r+ [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\left(-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   *-commutative [=>] 98.8	\[ \left(\color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) \cdot -0.0001984126984126984} + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   associate-*l* [=>] 98.8	\[ \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right)} + -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 98.8	\[ \left(\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   associate-*l* [=>] 98.8	\[ \left(\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   distribute-lft-out [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 98.8	\[ \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   associate-*r* [=>] 98.8	\[ \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(\color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re} + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 98.8	\[ \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + -1 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]
   associate-*r* [=>] 98.8	\[ \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re}\right) \]
   distribute-rgt-out [=>] 98.8	\[ \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -1 \cdot im\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -1 \cdot im\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im, \sin re, \sin re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.16666666666666666, {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 98.8	\[ \sin re \cdot \left(\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right) + \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]
   distribute-lft-in [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right) + \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
   *-commutative [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right) \cdot \sin re} + \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) \]
   fma-def [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im, \sin re, \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
   +-commutative [=>] 98.8	\[ \mathsf{fma}\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im, \sin re, \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \]
   fma-def [=>] 98.8	\[ \mathsf{fma}\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im, \sin re, \sin re \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.16666666666666666, {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right)}\right) \]

5. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im, \sin re, \sin re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.16666666666666666, {im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.8%
Cost	26752

\[\sin re \cdot \left(\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right) + \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 2
Accuracy	98.5%
Cost	13504

\[im \cdot \left(\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(im \cdot im\right) - \sin re\right) \]

Alternative 3
Accuracy	98.5%
Cost	7104

\[\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

Alternative 4
Accuracy	98.5%
Cost	7104

\[\sin re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right) \]

Alternative 5
Accuracy	98.0%
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 6
Accuracy	50.2%
Cost	704

\[re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

Alternative 7
Accuracy	49.9%
Cost	256

\[im \cdot \left(-re\right) \]

Alternative 8
Accuracy	3.6%
Cost	64

\[-3 \]

Alternative 9
Accuracy	3.6%
Cost	64

\[-1 \]

Alternative 10
Accuracy	27.5%
Cost	64

\[0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023137 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))