math.sin on complex, imaginary part

Average Accuracy: 9.2% → 98.6%

Time: 15.0s

Precision: binary64

Cost: 13312

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (cos re) (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return cos(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = cos(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) - im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return Math.cos(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return math.cos(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(cos(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = cos(re) * (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	9.2%
Target	99.6%
Herbie	98.6%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 9.2%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Simplified 9.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 9.2	\[ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   *-commutative [=>] 9.2	\[ \color{blue}{\left(\cos re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   associate-*l* [=>] 9.2	\[ \color{blue}{\cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]
   sub-neg [=>] 9.2	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(e^{0 - im} + \left(-e^{im}\right)\right)}\right) \]
   sub-neg [<=] 9.2	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(e^{0 - im} - e^{im}\right)}\right) \]
   sub0-neg [=>] 9.2	\[ \cos re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{\color{blue}{-im}} - e^{im}\right)\right) \]

3. Taylor expanded in im around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\cos re \cdot im\right)} \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
   Proof

   [Start] 98.6	\[ -0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\cos re \cdot im\right) \]
   mul-1-neg [=>] 98.6	\[ -0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\cos re \cdot im\right)} \]
   unsub-neg [=>] 98.6	\[ \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) - \cos re \cdot im} \]
   *-commutative [=>] 98.6	\[ -0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} - \cos re \cdot im \]
   associate-*r* [=>] 98.6	\[ \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \cos re} - \cos re \cdot im \]
   *-commutative [<=] 98.6	\[ \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - \cos re \cdot im \]
   distribute-lft-out-- [=>] 98.6	\[ \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
   *-commutative [=>] 98.6	\[ \cos re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} - im\right) \]

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.6%
Cost	7104

\[\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right) \]

Alternative 2
Accuracy	98.3%
Cost	6976

\[\frac{\cos re}{im \cdot 0.16666666666666666 + \frac{-1}{im}} \]

Alternative 3
Accuracy	98.1%
Cost	6656

\[\cos re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 4
Accuracy	55.1%
Cost	128

\[-im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023133 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))