ENA, Section 1.4, Mentioned, A

Average Accuracy: 52.0% → 99.9%

Time: 5.9s

Precision: binary64

Cost: 960

\[-0.01 \leq x \land x \leq 0.01\]

Math

\[1 - \cos x \]

↓

\[\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (* x (* x -0.041666666666666664)) (* x x)) (* (* x x) 0.5)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

↓

double code(double x) {
	return ((x * (x * -0.041666666666666664)) * (x * x)) + ((x * x) * 0.5);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - cos(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * (x * (-0.041666666666666664d0))) * (x * x)) + ((x * x) * 0.5d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cos(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return ((x * (x * -0.041666666666666664)) * (x * x)) + ((x * x) * 0.5);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.cos(x)

↓

def code(x):
	return ((x * (x * -0.041666666666666664)) * (x * x)) + ((x * x) * 0.5)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * -0.041666666666666664)) * Float64(x * x)) + Float64(Float64(x * x) * 0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - cos(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * (x * -0.041666666666666664)) * (x * x)) + ((x * x) * 0.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[(x * N[(x * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	52.0%
Target	100.0%
Herbie	99.9%

\[\frac{\sin x \cdot \sin x}{1 + \cos x} \]

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[1 - \cos x \]

2. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x}} \]
   Proof

   [Start] 52.0	\[ 1 - \cos x \]
   flip-- [=>] 52.0	\[ \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{1 + \cos x}} \]
   div-inv [=>] 52.0	\[ \color{blue}{\left(1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x}} \]
   metadata-eval [=>] 52.0	\[ \left(\color{blue}{1} - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
   1-sub-cos [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\left(\sin x \cdot \sin x\right)} \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]
   Proof

   [Start] 100.0	\[ \left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
   associate-*r/ [=>] 100.0	\[ \color{blue}{\frac{\left(\sin x \cdot \sin x\right) \cdot 1}{1 + \cos x}} \]
   *-rgt-identity [=>] 100.0	\[ \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{1 + \cos x} \]
   associate-*r/ [<=] 100.0	\[ \color{blue}{\sin x \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}} \]
   hang-0p-tan [=>] 100.0	\[ \sin x \cdot \color{blue}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.9	\[ 0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]
   +-commutative [=>] 99.9	\[ \color{blue}{-0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + 0.5 \cdot {x}^{2}} \]
   *-commutative [=>] 99.9	\[ \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.041666666666666664} + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   metadata-eval [<=] 99.9	\[ {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   pow-sqr [<=] 99.9	\[ \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   associate-*l* [=>] 99.9	\[ \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664\right)} + 0.5 \cdot {x}^{2} \]
   *-commutative [=>] 99.9	\[ {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.5} \]
   distribute-lft-out [=>] 99.9	\[ \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right)} \]
   unpow2 [=>] 99.9	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right) \]
   unpow2 [=>] 99.9	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right) \]
   associate-*l* [=>] 99.9	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)} + 0.5\right) \]
   fma-def [=>] 99.9	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.9	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.041666666666666664, 0.5\right) \]
   fma-udef [=>] 99.9	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right) + 0.5\right)} \]
   distribute-rgt-in [=>] 99.9	\[ \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot -0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.4%
Cost	320

\[\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 \]

Alternative 2
Accuracy	99.5%
Cost	320

\[x \cdot \left(x \cdot 0.5\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023131 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Mentioned, A"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -0.01 x) (<= x 0.01))

  :herbie-target
  (/ (* (sin x) (sin x)) (+ 1.0 (cos x)))

  (- 1.0 (cos x)))