2cbrt (problem 3.3.4)

Average Accuracy: 53.9% → 99.2%

Time: 11.9s

Precision: binary64

Cost: 26824

Math

\[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;x \leq -6 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\left(\sqrt[3]{x} + t_0\right) \cdot t_0 + \sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= x -6e+17)
     (/ (/ 0.3333333333333333 (cbrt x)) (cbrt x))
     (if (<= x 1e+102)
       (/ 1.0 (+ (* (+ (cbrt x) t_0) t_0) (cbrt (* x x))))
       (* 0.3333333333333333 (* (pow x -0.5) (cbrt (pow x -0.5))))))))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if (x <= -6e+17) {
		tmp = (0.3333333333333333 / cbrt(x)) / cbrt(x);
	} else if (x <= 1e+102) {
		tmp = 1.0 / (((cbrt(x) + t_0) * t_0) + cbrt((x * x)));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * (pow(x, -0.5) * cbrt(pow(x, -0.5)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if (x <= -6e+17) {
		tmp = (0.3333333333333333 / Math.cbrt(x)) / Math.cbrt(x);
	} else if (x <= 1e+102) {
		tmp = 1.0 / (((Math.cbrt(x) + t_0) * t_0) + Math.cbrt((x * x)));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * (Math.pow(x, -0.5) * Math.cbrt(Math.pow(x, -0.5)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

↓

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -6e+17)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 / cbrt(x)) / cbrt(x));
	elseif (x <= 1e+102)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(cbrt(x) + t_0) * t_0) + cbrt(Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64((x ^ -0.5) * cbrt((x ^ -0.5))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -6e+17], N[(N[(0.3333333333333333 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1e+102], N[(1.0 / N[(N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision] * N[Power[N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -6e17

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Applied egg-rr 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]
      Proof

      [Start] 4.2	\[ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
      add-sqr-sqrt [=>] 0.0	\[ \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]
      add-sqr-sqrt [=>] 0.0	\[ \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]
      difference-of-squares [=>] 0.0	\[ \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
      pow1/3 [=>] 0.0	\[ \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 0.0	\[ \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      pow1/3 [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      pow1/3 [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      pow1/3 [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 0.0	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Taylor expanded in x around inf 44.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   4. Simplified 47.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
      Proof

      [Start] 44.6	\[ 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]
      unpow1/3 [=>] 47.8	\[ 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
      unpow2 [=>] 47.8	\[ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{-1}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      Proof

      [Start] 47.8	\[ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} \]
      associate-/r* [=>] 49.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]
      cbrt-div [=>] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      inv-pow [=>] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-1}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   6. Simplified 98.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      Proof

      [Start] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{-1}}}{\sqrt[3]{x}} \]
      unpow-1 [=>] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   7. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      Proof

      [Start] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}} \]
      associate-*r/ [=>] 98.5	\[ \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      cbrt-div [=>] 98.4	\[ \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x}}}}{\sqrt[3]{x}} \]
      metadata-eval [=>] 98.4	\[ \frac{0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}} \]
      un-div-inv [=>] 98.4	\[ \frac{\color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   if -6e17 < x < 9.99999999999999977e101

   1. Initial program 86.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Applied egg-rr 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
      Proof

      [Start] 86.3	\[ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
      flip3-- [=>] 86.5	\[ \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]
      div-inv [=>] 86.5	\[ \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]
      rem-cube-cbrt [=>] 86.7	\[ \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]
      rem-cube-cbrt [=>] 88.1	\[ \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]
      pow2 [=>] 88.1	\[ \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]
      distribute-rgt-out [=>] 88.1	\[ \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]
      +-commutative [<=] 88.1	\[ \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
      Proof

      [Start] 88.1	\[ \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      associate-*r/ [=>] 88.1	\[ \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
      *-rgt-identity [=>] 88.1	\[ \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      +-commutative [=>] 88.1	\[ \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      associate--l+ [=>] 99.6	\[ \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      +-inverses [=>] 99.6	\[ \frac{1 + \color{blue}{0}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      metadata-eval [=>] 99.6	\[ \frac{\color{blue}{1}}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      +-commutative [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}} \]
      fma-def [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)}} \]
      +-commutative [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]
      +-commutative [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
      Proof

      [Start] 99.6	\[ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]
      fma-udef [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]
      distribute-rgt-in [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]
      +-commutative [<=] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]
      associate-+l+ [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x} + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \]
      unpow2 [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]
      distribute-lft-in [<=] 99.6	\[ \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
      +-commutative [<=] 99.6	\[ \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
      pow2 [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot x}} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      Proof

      [Start] 99.6	\[ \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      unpow2 [=>] 99.6	\[ \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
      cbrt-unprod [=>] 99.7	\[ \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot x}} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   if 9.99999999999999977e101 < x

   1. Initial program 4.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Applied egg-rr 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]
      Proof

      [Start] 4.5	\[ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
      add-sqr-sqrt [=>] 3.8	\[ \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]
      add-sqr-sqrt [=>] 4.5	\[ \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]
      difference-of-squares [=>] 4.5	\[ \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
      pow1/3 [=>] 4.5	\[ \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 4.5	\[ \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 4.5	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      pow1/3 [=>] 4.5	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 4.5	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 4.5	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      pow1/3 [=>] 1.9	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 1.9	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 1.9	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      pow1/3 [=>] 4.3	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]
      sqrt-pow1 [=>] 4.5	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]
      metadata-eval [=>] 4.5	\[ \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Taylor expanded in x around inf 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   4. Simplified 29.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
      Proof

      [Start] 27.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} \]
      unpow1/3 [=>] 29.6	\[ 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
      unpow2 [=>] 29.6	\[ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{-1}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      Proof

      [Start] 29.6	\[ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} \]
      associate-/r* [=>] 32.2	\[ 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]
      cbrt-div [=>] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      inv-pow [=>] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-1}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   6. Simplified 98.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}} \]
      Proof

      [Start] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{{x}^{-1}}}{\sqrt[3]{x}} \]
      unpow-1 [=>] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x}}}}{\sqrt[3]{x}} \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right)} \]
      Proof

      [Start] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}} \]
      div-inv [=>] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
      metadata-eval [<=] 98.4	\[ 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{1}}}{\sqrt[3]{x}}\right) \]
      cbrt-div [<=] 98.1	\[ 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \]
      add-sqr-sqrt [=>] 98.0	\[ 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right)}\right) \]
      associate-*r* [=>] 98.0	\[ 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}\right)} \]

3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -6 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) \cdot \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right)\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.2%
Cost	39168

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, {t_0}^{2}\right)} \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	99.2%
Cost	33024

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \frac{t_0}{\frac{1}{\sqrt[3]{x} + t_0}}} \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	99.2%
Cost	32896

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right) \cdot t_0} \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	98.7%
Cost	26308

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	98.7%
Cost	26248

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -24000000:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 14500000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6
Accuracy	98.7%
Cost	26184

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -48000000:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 18500000:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7
Accuracy	98.7%
Cost	19912

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -48000000:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 18500000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left({x}^{-0.5} \cdot \sqrt[3]{{x}^{-0.5}}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8
Accuracy	98.7%
Cost	13384

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -48000000:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 18500000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}\\ \end{array} \]

Alternative 9
Accuracy	98.7%
Cost	13384

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -48000000:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 18500000:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}\\ \end{array} \]

Alternative 10
Accuracy	95.0%
Cost	13321

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.082 \lor \neg \left(x \leq 0.25\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot -0.6666666666666666\\ \end{array} \]

Alternative 11
Accuracy	95.1%
Cost	13320

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.082:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.25:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-2}\\ \end{array} \]

Alternative 12
Accuracy	81.3%
Cost	7048

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.082:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{0.037037037037037035}{x \cdot x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.25:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot -0.6666666666666666\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^{0.6666666666666666}\\ \end{array} \]

Alternative 13
Accuracy	72.2%
Cost	6985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.082 \lor \neg \left(x \leq 0.25\right):\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{0.037037037037037035}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot -0.6666666666666666\\ \end{array} \]

Alternative 14
Accuracy	3.6%
Cost	64

\[0 \]

Alternative 15
Accuracy	50.3%
Cost	64

\[1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023126 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))