Cubic critical, medium range

Average Accuracy: 30.9% → 99.2%

Time: 18.8s

Precision: binary64

Cost: 14016

\[\left(\left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < a \land a < 9007199254740992\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < b \land b < 9007199254740992\right)\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < c \land c < 9007199254740992\right)\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

↓

\[\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a \cdot c}\right)} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

↓

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  -0.3333333333333333
  (*
   a
   (*
    (+ b (sqrt (fma a (* c -3.0) (* b b))))
    (/ 0.3333333333333333 (* a c))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

double code(double a, double b, double c) {
	return -0.3333333333333333 / (a * ((b + sqrt(fma(a, (c * -3.0), (b * b)))) * (0.3333333333333333 / (a * c))));
}

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

↓

function code(a, b, c)
	return Float64(-0.3333333333333333 / Float64(a * Float64(Float64(b + sqrt(fma(a, Float64(c * -3.0), Float64(b * b)))) * Float64(0.3333333333333333 / Float64(a * c)))))
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, b_, c_] := N[(-0.3333333333333333 / N[(a * N[(N[(b + N[Sqrt[N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 / N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.9%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

2. Simplified 30.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a} \cdot -0.3333333333333333} \]
   Proof

   [Start] 30.9	\[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   *-lft-identity [<=] 30.9	\[ \color{blue}{1 \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]
   metadata-eval [<=] 30.9	\[ \color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   times-frac [<=] 30.9	\[ \color{blue}{\frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{-1 \cdot \left(3 \cdot a\right)}} \]
   neg-mul-1 [<=] 30.9	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{-3 \cdot a}} \]
   distribute-rgt-neg-in [=>] 30.9	\[ \frac{-1 \cdot \left(\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(-a\right)}} \]
   times-frac [=>] 30.9	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a}} \]
   *-commutative [=>] 30.9	\[ \color{blue}{\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{-a} \cdot \frac{-1}{3}} \]

3. Applied egg-rr 32.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left({b}^{4} - {\left(\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}{b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}{a} \cdot -0.3333333333333333 \]

4. Taylor expanded in b around 0 98.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(6 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot {b}^{2}\right)\right) + -9 \cdot \left({c}^{2} \cdot {a}^{2}\right)\right)} \cdot \frac{1}{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}{b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{a} \cdot -0.3333333333333333 \]

5. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(b, b, \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(6, c \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot b\right)\right), -9 \cdot {\left(c \cdot a\right)}^{2}\right)}\right)}} \]

6. Taylor expanded in b around 0 99.2%

   \[\leadsto \frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{c \cdot a}}\right)} \]

7. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(\left(b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333}{a \cdot c}\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	91.2%
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(-0.375, \frac{c \cdot c}{\frac{{b}^{3}}{a}}, -0.5 \cdot \frac{c}{b}\right) \]

Alternative 2
Accuracy	91.0%
Cost	8128

\[\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{a \cdot c} + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{a \cdot b}{\frac{a \cdot \left(b \cdot b\right)}{-9}}, \frac{1}{b}\right)\right)} \]

Alternative 3
Accuracy	91.0%
Cost	2240

\[\frac{-0.3333333333333333}{a \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -6 + -3 \cdot \left(a \cdot c\right)}{c \cdot \left(a \cdot b\right)} + \left(0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{a \cdot c} + \frac{1}{b}\right)\right)} \]

Alternative 4
Accuracy	81.8%
Cost	320

\[-0.5 \cdot \frac{c}{b} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023122 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.1102230246251565e-16 a) (< a 9007199254740992.0)) (and (< 1.1102230246251565e-16 b) (< b 9007199254740992.0))) (and (< 1.1102230246251565e-16 c) (< c 9007199254740992.0)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))