ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Error: 46.24% → 0.68%

Time: 19.1s

Precision: binary64

Cost: 7040

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* x (* 0.16666666666666666 x)) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return (x * (0.16666666666666666 * x)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (0.16666666666666666d0 * x)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return (x * (0.16666666666666666 * x)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return (x * (0.16666666666666666 * x)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (0.16666666666666666 * x)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	46.24%
Target	1.36%
Herbie	0.68%

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 46.24

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

3. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.7	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
   unpow2 [=>] 0.7	\[ 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]
   fma-def [=>] 0.7	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

4. Applied egg-rr 0.68

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

5. Final simplification 0.68

   \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.36%
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 2
Error	1.34%
Cost	320

\[x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 3
Error	1.27%
Cost	320

\[\frac{x}{\frac{6}{x}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023121 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))