Cubic critical, narrow range

Average Error: 45.34% → 2.39%

Time: 28.9s

Precision: binary64

Cost: 98752

\[\left(\left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < a \land a < 94906265.62425156\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < b \land b < 94906265.62425156\right)\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < c \land c < 94906265.62425156\right)\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot 3, b \cdot \left(b \cdot 0\right)\right)}\\ \frac{{\left({c}^{2} \cdot {a}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\sqrt{\sqrt[3]{{t_0}^{4}}} \cdot \left|\sqrt[3]{t_0}\right|}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

↓

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (fma a (* c 3.0) (* b (* b 0.0))))))
   (*
    (/
     (* (pow (* (pow c 2.0) (pow a 2.0)) 0.3333333333333333) (cbrt 9.0))
     (/
      (+ b (sqrt (fma a (* c -3.0) (* b b))))
      (* (sqrt (cbrt (pow t_0 4.0))) (fabs (cbrt t_0)))))
    (/ -0.3333333333333333 a))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

↓

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = cbrt(fma(a, (c * 3.0), (b * (b * 0.0))));
	return ((pow((pow(c, 2.0) * pow(a, 2.0)), 0.3333333333333333) * cbrt(9.0)) / ((b + sqrt(fma(a, (c * -3.0), (b * b)))) / (sqrt(cbrt(pow(t_0, 4.0))) * fabs(cbrt(t_0))))) * (-0.3333333333333333 / a);
}

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

↓

function code(a, b, c)
	t_0 = cbrt(fma(a, Float64(c * 3.0), Float64(b * Float64(b * 0.0))))
	return Float64(Float64(Float64((Float64((c ^ 2.0) * (a ^ 2.0)) ^ 0.3333333333333333) * cbrt(9.0)) / Float64(Float64(b + sqrt(fma(a, Float64(c * -3.0), Float64(b * b)))) / Float64(sqrt(cbrt((t_0 ^ 4.0))) * abs(cbrt(t_0))))) * Float64(-0.3333333333333333 / a))
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(a * N[(c * 3.0), $MachinePrecision] + N[(b * N[(b * 0.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[Power[N[(N[Power[c, 2.0], $MachinePrecision] * N[Power[a, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] * N[Power[9.0, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(b + N[Sqrt[N[(a * N[(c * -3.0), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[N[Power[N[Power[t$95$0, 4.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Abs[N[Power[t$95$0, 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 45.34

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]

2. Simplified 45.35

   \[\leadsto \color{blue}{\left(b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}} \]
   Proof

   [Start] 45.34	\[ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   remove-double-neg [<=] 45.34	\[ \frac{\left(-b\right) + \color{blue}{\left(-\left(-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)\right)}}{3 \cdot a} \]
   sub-neg [<=] 45.34	\[ \frac{\color{blue}{\left(-b\right) - \left(-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right)}}{3 \cdot a} \]
   div-sub [=>] 46.11	\[ \color{blue}{\frac{-b}{3 \cdot a} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]
   neg-mul-1 [=>] 46.11	\[ \frac{\color{blue}{-1 \cdot b}}{3 \cdot a} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   associate-*l/ [<=] 46.2	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3 \cdot a} \cdot b} - \frac{-\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
   distribute-frac-neg [=>] 46.2	\[ \frac{-1}{3 \cdot a} \cdot b - \color{blue}{\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)} \]
   fma-neg [=>] 45.29	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, b, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right)} \]
   /-rgt-identity [<=] 45.29	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \color{blue}{\frac{b}{1}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   metadata-eval [<=] 45.29	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{b}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   associate-/l* [<=] 45.29	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \color{blue}{\frac{b \cdot -1}{-1}}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   *-commutative [<=] 45.29	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{\color{blue}{-1 \cdot b}}{-1}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   neg-mul-1 [<=] 45.29	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{-1}{3 \cdot a}, \frac{\color{blue}{-b}}{-1}, -\left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)\right) \]
   fma-neg [<=] 46.2	\[ \color{blue}{\frac{-1}{3 \cdot a} \cdot \frac{-b}{-1} - \left(-\frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\right)} \]
   neg-mul-1 [=>] 46.2	\[ \frac{-1}{3 \cdot a} \cdot \frac{-b}{-1} - \color{blue}{-1 \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}} \]

3. Applied egg-rr 43.88

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]

4. Taylor expanded in b around 0 42.05

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left({c}^{2} \cdot \left(1 \cdot {a}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]

5. Applied egg-rr 42.04

   \[\leadsto \frac{{\left({c}^{2} \cdot \left(1 \cdot {a}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}^{4}}} \cdot \sqrt{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\right)}^{2}}}}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]

6. Simplified 2.39

   \[\leadsto \frac{{\left({c}^{2} \cdot \left(1 \cdot {a}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(a, 3 \cdot c, b \cdot \left(0 \cdot b\right)\right)}\right)}^{4}}} \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(a, 3 \cdot c, b \cdot \left(0 \cdot b\right)\right)}}\right|}}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]
   Proof

   [Start] 42.04

   \[ \frac{{\left({c}^{2} \cdot \left(1 \cdot {a}^{2}\right)\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\sqrt{\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}\right)}^{4}}} \cdot \sqrt{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{b \cdot b - \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}\right)}^{2}}}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]

7. Final simplification 2.39

   \[\leadsto \frac{{\left({c}^{2} \cdot {a}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\sqrt{\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot 3, b \cdot \left(b \cdot 0\right)\right)}\right)}^{4}}} \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot 3, b \cdot \left(b \cdot 0\right)\right)}}\right|}} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	2.52%
Cost	79488

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot 3, b \cdot \left(b \cdot 0\right)\right)}}\\ \frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{{\left({c}^{2} \cdot {a}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{t_0 \cdot t_0}} \end{array} \]

Alternative 2
Error	10.65%
Cost	48068

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3} \leq -0.0008:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{\left(c \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\frac{b + \sqrt{t_0}}{\sqrt[3]{b \cdot b - t_0}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.5625, \frac{{c}^{3}}{\frac{{b}^{5}}{a \cdot a}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{c}{b}, \frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{3}}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	10.65%
Cost	48068

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3} \leq -0.0008:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(a \cdot a\right)}}{\frac{b + \sqrt{t_0}}{\sqrt[3]{b \cdot b - t_0}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.5625, \frac{{c}^{3}}{\frac{{b}^{5}}{a \cdot a}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{c}{b}, \frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{3}}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	2.52%
Cost	46592

\[\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{{\left({c}^{2} \cdot {a}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\sqrt[3]{3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

Alternative 5
Error	2.52%
Cost	46592

\[\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \frac{{\left({c}^{2} \cdot {a}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{9}}{\frac{b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}}{\sqrt[3]{a \cdot \left(c \cdot 3\right)}}} \]

Alternative 6
Error	9.91%
Cost	40964

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3} \leq -2:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot b - t_0}{a \cdot \left(-3 \cdot \left(b + \sqrt{t_0}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.5625, \frac{{c}^{3}}{\frac{{b}^{5}}{a \cdot a}}, \mathsf{fma}\left(-0.5, \frac{c}{b}, \frac{-0.375 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{{b}^{3}}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	14.05%
Cost	28228

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3} \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \frac{\frac{b \cdot b - t_0}{a}}{b + \sqrt{t_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.375, \frac{c \cdot c}{\frac{{b}^{3}}{a}}, -0.5 \cdot \frac{c}{b}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	14.05%
Cost	28228

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3} \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \frac{\frac{b \cdot b - t_0}{b + \sqrt{t_0}}}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.375, \frac{c \cdot c}{\frac{{b}^{3}}{a}}, -0.5 \cdot \frac{c}{b}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9
Error	14.05%
Cost	28228

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3} \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;\frac{b \cdot b - t_0}{a \cdot \left(-3 \cdot \left(b + \sqrt{t_0}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.375, \frac{c \cdot c}{\frac{{b}^{3}}{a}}, -0.5 \cdot \frac{c}{b}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10
Error	14.54%
Cost	21124

\[\begin{array}{l} t_0 := c \cdot \left(a \cdot -3\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + t_0} - b}{a \cdot 3} \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, t_0\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-0.375, \frac{c \cdot c}{\frac{{b}^{3}}{a}}, -0.5 \cdot \frac{c}{b}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 11
Error	14.82%
Cost	21060

\[\begin{array}{l} t_0 := c \cdot \left(a \cdot -3\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + t_0} - b}{a \cdot 3} \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \left(b - \sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, t_0\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \mathsf{fma}\left(1.5, \frac{c}{\frac{b}{a}}, 1.125 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 12
Error	14.82%
Cost	21060

\[\begin{array}{l} t_0 := c \cdot \left(a \cdot -3\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + t_0} - b}{a \cdot 3} \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, t_0\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \mathsf{fma}\left(1.5, \frac{c}{\frac{b}{a}}, 1.125 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 13
Error	14.87%
Cost	15556

\[\begin{array}{l} t_0 := c \cdot \left(a \cdot -3\right)\\ \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b + t_0} - b}{a \cdot 3} \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b + \left(t_0 + \left(t_0 + 3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \mathsf{fma}\left(1.5, \frac{c}{\frac{b}{a}}, 1.125 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 14
Error	14.86%
Cost	15428

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.000582:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \mathsf{fma}\left(1.5, \frac{c}{\frac{b}{a}}, 1.125 \cdot \left(\frac{c \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 15
Error	23.65%
Cost	14788

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -1.1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot -0.5}{b}\\ \end{array} \]

Alternative 16
Error	25.66%
Cost	7492

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 65:\\ \;\;\;\;\frac{-0.3333333333333333}{a} \cdot \left(b - \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot -0.5}{b}\\ \end{array} \]

Alternative 17
Error	25.66%
Cost	7492

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 65:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \frac{b - \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{c \cdot -0.5}{b}\\ \end{array} \]

Alternative 18
Error	88.33%
Cost	320

\[b \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a} \]

Alternative 19
Error	35.09%
Cost	320

\[c \cdot \frac{-0.5}{b} \]

Alternative 20
Error	35.03%
Cost	320

\[\frac{c \cdot -0.5}{b} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023121 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.0536712127723509e-8 a) (< a 94906265.62425156)) (and (< 1.0536712127723509e-8 b) (< b 94906265.62425156))) (and (< 1.0536712127723509e-8 c) (< c 94906265.62425156)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))