FastMath dist3

Average Error: 0.07% → 0.04%

Time: 6.4s

Precision: binary64

Cost: 576

\[ \begin{array}{c}[d2, d3] = \mathsf{sort}([d2, d3])\\ \end{array} \]

Math

\[\left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]

↓

\[d2 \cdot d1 + d1 \cdot \left(37 + d3\right) \]

FPCore

(FPCore (d1 d2 d3)
 :precision binary64
 (+ (+ (* d1 d2) (* (+ d3 5.0) d1)) (* d1 32.0)))

↓

(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (+ (* d2 d1) (* d1 (+ 37.0 d3))))

C

double code(double d1, double d2, double d3) {
	return ((d1 * d2) + ((d3 + 5.0) * d1)) + (d1 * 32.0);
}

↓

double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d2 * d1) + (d1 * (37.0 + d3));
}

Fortran

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = ((d1 * d2) + ((d3 + 5.0d0) * d1)) + (d1 * 32.0d0)
end function

↓

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = (d2 * d1) + (d1 * (37.0d0 + d3))
end function

Java

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return ((d1 * d2) + ((d3 + 5.0) * d1)) + (d1 * 32.0);
}

↓

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d2 * d1) + (d1 * (37.0 + d3));
}

Python

def code(d1, d2, d3):
	return ((d1 * d2) + ((d3 + 5.0) * d1)) + (d1 * 32.0)

↓

def code(d1, d2, d3):
	return (d2 * d1) + (d1 * (37.0 + d3))

Julia

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(Float64(d1 * d2) + Float64(Float64(d3 + 5.0) * d1)) + Float64(d1 * 32.0))
end

↓

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(d2 * d1) + Float64(d1 * Float64(37.0 + d3)))
end

MATLAB

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = ((d1 * d2) + ((d3 + 5.0) * d1)) + (d1 * 32.0);
end

↓

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = (d2 * d1) + (d1 * (37.0 + d3));
end

Wolfram

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] + N[(N[(d3 + 5.0), $MachinePrecision] * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(d1 * 32.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(d2 * d1), $MachinePrecision] + N[(d1 * N[(37.0 + d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	0.07%
Target	0.04%
Herbie	0.04%

\[d1 \cdot \left(\left(37 + d3\right) + d2\right) \]

Derivation

1. Initial program 0.07

   \[\left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]

2. Simplified 0.04

   \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + \left(d3 + 37\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.07	\[ \left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]
   associate-+l+ [=>] 0.07	\[ \color{blue}{d1 \cdot d2 + \left(\left(d3 + 5\right) \cdot d1 + d1 \cdot 32\right)} \]
   *-commutative [=>] 0.07	\[ d1 \cdot d2 + \left(\color{blue}{d1 \cdot \left(d3 + 5\right)} + d1 \cdot 32\right) \]
   distribute-lft-out [=>] 0.04	\[ d1 \cdot d2 + \color{blue}{d1 \cdot \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 0.04	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)\right)} \]
   associate-+l+ [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \left(d2 + \color{blue}{\left(d3 + \left(5 + 32\right)\right)}\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \left(d2 + \left(d3 + \color{blue}{37}\right)\right) \]

3. Taylor expanded in d2 around 0 0.04

   \[\leadsto \color{blue}{d2 \cdot d1 + \left(37 + d3\right) \cdot d1} \]

4. Final simplification 0.04

   \[\leadsto d2 \cdot d1 + d1 \cdot \left(37 + d3\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	26.72%
Cost	721

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d2 \leq -49000:\\ \;\;\;\;d2 \cdot d1\\ \mathbf{elif}\;d2 \leq -4.4 \cdot 10^{-266} \lor \neg \left(d2 \leq -1.55 \cdot 10^{-305}\right) \land d2 \leq 2.2 \cdot 10^{-217}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot 37\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d3\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	7.08%
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 950000:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + 37\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d3\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	6.32%
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 0.0022:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + 37\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(37 + d3\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	0.04%
Cost	448

\[d1 \cdot \left(d2 + \left(37 + d3\right)\right) \]

Alternative 5
Error	35.32%
Cost	324

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 500:\\ \;\;\;\;d1 \cdot 37\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d3\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	67.02%
Cost	192

\[d1 \cdot 37 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023121 
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath dist3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ (+ 37.0 d3) d2))

  (+ (+ (* d1 d2) (* (+ d3 5.0) d1)) (* d1 32.0)))