?

Average Error: 0.04% → 0.03%
Time: 8.5s
Precision: binary64
Cost: 6976

?

\[ \begin{array}{c}[d2, d4] = \mathsf{sort}([d2, d4])\\ \end{array} \]
\[\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(d1, d2 - d3, d1 \cdot \left(d4 - d1\right)\right) \]
(FPCore (d1 d2 d3 d4)
 :precision binary64
 (- (+ (- (* d1 d2) (* d1 d3)) (* d4 d1)) (* d1 d1)))
↓
(FPCore (d1 d2 d3 d4) :precision binary64 (fma d1 (- d2 d3) (* d1 (- d4 d1))))
double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return (((d1 * d2) - (d1 * d3)) + (d4 * d1)) - (d1 * d1);
}
↓
double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return fma(d1, (d2 - d3), (d1 * (d4 - d1)));
}

function code(d1, d2, d3, d4)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(d1 * d2) - Float64(d1 * d3)) + Float64(d4 * d1)) - Float64(d1 * d1))
end
↓
function code(d1, d2, d3, d4)
	return fma(d1, Float64(d2 - d3), Float64(d1 * Float64(d4 - d1)))
end

code[d1_, d2_, d3_, d4_] := N[(N[(N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] - N[(d1 * d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(d4 * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(d1 * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[d1_, d2_, d3_, d4_] := N[(d1 * N[(d2 - d3), $MachinePrecision] + N[(d1 * N[(d4 - d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1
↓
\mathsf{fma}\left(d1, d2 - d3, d1 \cdot \left(d4 - d1\right)\right)

Error?

Target

Original0.04%
Target0.03%
Herbie0.03%
\[d1 \cdot \left(\left(\left(d2 - d3\right) + d4\right) - d1\right) \]

Derivation?

  1. Initial program 0.04

    \[\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]

  2. Simplified0.03

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, d2 - d3, d1 \cdot \left(d4 - d1\right)\right)} \]
    Proof

    [Start]0.04

    \[ \left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]

    associate--l+ [=>]0.04

    \[ \color{blue}{\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + \left(d4 \cdot d1 - d1 \cdot d1\right)} \]

    distribute-lft-out-- [=>]0.03

    \[ \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 - d3\right)} + \left(d4 \cdot d1 - d1 \cdot d1\right) \]

    fma-def [=>]0.02

    \[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, d2 - d3, d4 \cdot d1 - d1 \cdot d1\right)} \]

    distribute-rgt-out-- [=>]0.03

    \[ \mathsf{fma}\left(d1, d2 - d3, \color{blue}{d1 \cdot \left(d4 - d1\right)}\right) \]

  3. Final simplification0.03

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(d1, d2 - d3, d1 \cdot \left(d4 - d1\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error29.32%
Cost849
\[\begin{array}{l} t_0 := d3 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{if}\;d3 \leq -5.8 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq -6.2 \cdot 10^{+117}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 - d1\right)\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq -6.2 \cdot 10^{+61} \lor \neg \left(d3 \leq 2.5 \cdot 10^{+96}\right):\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + d4\right)\\ \end{array} \]
Alternative 2
Error43.77%
Cost785
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d2 \leq -2.8 \cdot 10^{+68}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d2 \leq -2.4 \cdot 10^{-217} \lor \neg \left(d2 \leq -2.75 \cdot 10^{-291}\right) \land d2 \leq 1.9 \cdot 10^{-302}:\\ \;\;\;\;d3 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d4\\ \end{array} \]
Alternative 3
Error19.27%
Cost717
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d2 \leq -5.8 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \mathbf{elif}\;d2 \leq -7.9 \cdot 10^{-227} \lor \neg \left(d2 \leq -9.5 \cdot 10^{-264}\right):\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 - d3\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 - d1\right)\\ \end{array} \]
Alternative 4
Error4.4%
Cost713
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq -4 \cdot 10^{-39} \lor \neg \left(d3 \leq 2.5 \cdot 10^{+51}\right):\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(d2 + d4\right) - d3\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(d2 + d4\right) - d1\right)\\ \end{array} \]
Alternative 5
Error11.88%
Cost712
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq -1.02 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 - d3\right)\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq 8.5 \cdot 10^{+73}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(d2 + d4\right) - d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \end{array} \]
Alternative 6
Error28.43%
Cost585
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq -3.9 \cdot 10^{+61} \lor \neg \left(d3 \leq 1.75 \cdot 10^{+105}\right):\\ \;\;\;\;d3 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + d4\right)\\ \end{array} \]
Alternative 7
Error0.03%
Cost576
\[d1 \cdot \left(\left(d2 - d3\right) + \left(d4 - d1\right)\right) \]
Alternative 8
Error21.66%
Cost452
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 2 \cdot 10^{+33}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + d4\right)\\ \end{array} \]
Alternative 9
Error46.59%
Cost324
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d2 \leq -5.8 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d4\\ \end{array} \]
Alternative 10
Error67.55%
Cost192
\[d1 \cdot d4 \]

Error

Reproduce?

herbie shell --seed 2023121 
(FPCore (d1 d2 d3 d4)
  :name "FastMath dist4"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (- (+ (- d2 d3) d4) d1))

  (- (+ (- (* d1 d2) (* d1 d3)) (* d4 d1)) (* d1 d1)))