?

Average Error: 0.01% → 0%

Time: 1.0s

Precision: binary64

Cost: 6720

\[ \begin{array}{c}[re, im] = \mathsf{sort}([re, im])\\ \end{array} \]

\[re \cdot re + im \cdot im \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(re, re, im \cdot im\right) \]

(FPCore modulus_sqr (re im) :precision binary64 (+ (* re re) (* im im)))

↓

(FPCore modulus_sqr (re im) :precision binary64 (fma re re (* im im)))

double modulus_sqr(double re, double im) {
	return (re * re) + (im * im);
}

↓

double modulus_sqr(double re, double im) {
	return fma(re, re, (im * im));
}

function modulus_sqr(re, im)
	return Float64(Float64(re * re) + Float64(im * im))
end

↓

function modulus_sqr(re, im)
	return fma(re, re, Float64(im * im))
end

modulus$95$sqr[re_, im_] := N[(N[(re * re), $MachinePrecision] + N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

modulus$95$sqr[re_, im_] := N[(re * re + N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

re \cdot re + im \cdot im

↓

\mathsf{fma}\left(re, re, im \cdot im\right)

Derivation?

Initial program 0.01
\[re \cdot re + im \cdot im \]
Simplified0
\[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(re, re, im \cdot im\right)} \]
Proof
[Start]0.01
\[ re \cdot re + im \cdot im \]
fma-def [=>]0
\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(re, re, im \cdot im\right)} \]
Final simplification0
\[\leadsto \mathsf{fma}\left(re, re, im \cdot im\right) \]

[Start]0.01	\[ re \cdot re + im \cdot im \]
fma-def [=>]0	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(re, re, im \cdot im\right)} \]

Alternative 1
Error	0.01%
Cost	448

\[im \cdot im + re \cdot re \]

Alternative 2
Error	11.48%
Cost	324

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.2 \cdot 10^{-129}:\\ \;\;\;\;re \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot im\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	42.47%
Cost	192

\[im \cdot im \]

herbie shell --seed 2023121 
(FPCore modulus_sqr (re im)
  :name "math.abs on complex (squared)"
  :precision binary64
  (+ (* re re) (* im im)))