Hyperbolic tangent

Average Error: 8.9% → 98.5%

Time: 1.8min

Precision: binary64

Cost: 46532.00

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -3:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(\left(-1 + e^{\mathsf{log1p}\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -3.0)
   -1.0
   (/
    (+
     (* x 2.0)
     (+
      (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
      (+
       (+ -1.0 (exp (log1p (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0)))))
       (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0)))))
    (+ (exp x) (exp (- x))))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
}

↓

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -3.0) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + ((-1.0 + exp(log1p((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0))))) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))))) / (exp(x) + exp(-x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

↓

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -3.0) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + ((-1.0 + Math.exp(Math.log1p((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0))))) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0))))) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

↓

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -3.0:
		tmp = -1.0
	else:
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + ((-1.0 + math.exp(math.log1p((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0))))) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0))))) / (math.exp(x) + math.exp(-x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

↓

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -3.0)
		tmp = -1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(Float64(-1.0 + exp(log1p(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0))))) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := If[LessEqual[x, -3.0], -1.0, N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-1.0 + N[Exp[N[Log[1 + N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -3

   1. Initial program 22.0

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 2.3

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]

   3. Simplified 2.3

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]
      Proof

      [Start] 2.3	\[ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + {x}^{2}} \]
      unpow2 [=>] 2.3	\[ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

   4. Applied egg-rr 96.6

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \]
      Proof

      [Start] 2.3	\[ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + x \cdot x} \]

   if -3 < x

   1. Initial program 8.7

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. Applied egg-rr 98.6

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)} - 1\right)} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]
      Proof

      [Start] 98.6	\[ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]
      expm1-log1p-u [=>] 98.6	\[ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]
      expm1-udef [=>] 98.6	\[ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)} - 1\right)} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -3:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(\left(-1 + e^{\mathsf{log1p}\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	98.6%
Cost	33604.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -3:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}}\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	98.5%
Cost	20868.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.15:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	98.4%
Cost	20356.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.3:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x}^{7} \cdot -0.05396825396825397 + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	98.4%
Cost	13636.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.25:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	98.4%
Cost	7812.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.86:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	98.3%
Cost	7044.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.65:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-x}{\mathsf{fma}\left(-0.3333333333333333, x \cdot x, -1\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	98.3%
Cost	1092.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.6:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{-2 + x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}{-2 - x \cdot x}\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	98.3%
Cost	1092.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.6:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\frac{-2 - x \cdot x}{-2 + x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}}\\ \end{array} \]

Alternative 9
Error	97.8%
Cost	708.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.25:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x + x}{2 + x \cdot x}\\ \end{array} \]

Alternative 10
Error	7.8%
Cost	196.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 11
Error	97.8%
Cost	196.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 12
Error	5.0%
Cost	64.00

\[-1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023121 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))