Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.24% → 0.18%

Time: 10.6s

Precision: binary64

Cost: 7360

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[a + \left(-0.3333333333333333 + \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{-0.3333333333333333 + a}} \cdot rand\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (+
   -0.3333333333333333
   (*
    (+ -0.3333333333333333 a)
    (* (sqrt (/ 0.1111111111111111 (+ -0.3333333333333333 a))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return a + (-0.3333333333333333 + ((-0.3333333333333333 + a) * (sqrt((0.1111111111111111 / (-0.3333333333333333 + a))) * rand)));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a - (1.0d0 / 3.0d0)) * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * (a - (1.0d0 / 3.0d0))))) * rand))
end function

↓

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a + ((-0.3333333333333333d0) + (((-0.3333333333333333d0) + a) * (sqrt((0.1111111111111111d0 / ((-0.3333333333333333d0) + a))) * rand)))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

public static double code(double a, double rand) {
	return a + (-0.3333333333333333 + ((-0.3333333333333333 + a) * (Math.sqrt((0.1111111111111111 / (-0.3333333333333333 + a))) * rand)));
}

Python

def code(a, rand):
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand))

↓

def code(a, rand):
	return a + (-0.3333333333333333 + ((-0.3333333333333333 + a) * (math.sqrt((0.1111111111111111 / (-0.3333333333333333 + a))) * rand)))

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(a + Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(-0.3333333333333333 + a) * Float64(sqrt(Float64(0.1111111111111111 / Float64(-0.3333333333333333 + a))) * rand))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
end

↓

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a + (-0.3333333333333333 + ((-0.3333333333333333 + a) * (sqrt((0.1111111111111111 / (-0.3333333333333333 + a))) * rand)));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(a + N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(-0.3333333333333333 + a), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[N[(0.1111111111111111 / N[(-0.3333333333333333 + a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.24

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 0.24

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.24	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   cancel-sign-sub [<=] 0.24	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \cdot rand\right)} \]
   distribute-lft-neg-in [<=] 0.24	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)}\right) \]
   sub-neg [=>] 0.24	\[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.24	\[ \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   metadata-eval [=>] 0.24	\[ \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right) \]
   sub-neg [=>] 0.24	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)\right)} \]
   remove-double-neg [=>] 0.24	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]
   /-rgt-identity [<=] 0.24	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}{1}}} \cdot rand\right) \]

3. Applied egg-rr 0.18

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right)\right) + a} \]

4. Final simplification 0.18

   \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{-0.3333333333333333 + a}} \cdot rand\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.2%
Cost	7232

\[\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right) \]

Alternative 2
Error	8.93%
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.3 \cdot 10^{+90} \lor \neg \left(rand \leq 1.65 \cdot 10^{+65}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 + a\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	8.84%
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\\ \mathbf{if}\;rand \leq -4.2 \cdot 10^{+90}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 8.6 \cdot 10^{+63}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 + a\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot t_0\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	0.36%
Cost	7104

\[a + \left(-0.3333333333333333 + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\right) \]

Alternative 5
Error	9.9%
Cost	6985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -6.7 \cdot 10^{+96} \lor \neg \left(rand \leq 6 \cdot 10^{+66}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 + a\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	1.62%
Cost	6976

\[a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right) \]

Alternative 7
Error	29.23%
Cost	192

\[-0.3333333333333333 + a \]

Alternative 8
Error	30.43%
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023115 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))