ln(1 + x)

Average Error: 38.6 → 0.2

Time: 5.5s

Precision: binary64

Cost: 40772

Math

\[\log \left(1 + x\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.25 \cdot {x}^{4}\\ \mathbf{if}\;1 + x \leq 2:\\ \;\;\;\;\frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(t_0 + -2 \cdot x\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} - t_0\right)\right) + t_0\right)}{-2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + x\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (+ 1.0 x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.25 (pow x 4.0))))
   (if (<= (+ 1.0 x) 2.0)
     (/
      (+
       (* (pow x 4.0) 0.25)
       (+
        (+
         (+ (pow x 2.0) (+ t_0 (* -2.0 x)))
         (- (* -0.6666666666666666 (pow x 3.0)) t_0))
        t_0))
      -2.0)
     (log (+ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return log((1.0 + x));
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = 0.25 * pow(x, 4.0);
	double tmp;
	if ((1.0 + x) <= 2.0) {
		tmp = ((pow(x, 4.0) * 0.25) + (((pow(x, 2.0) + (t_0 + (-2.0 * x))) + ((-0.6666666666666666 * pow(x, 3.0)) - t_0)) + t_0)) / -2.0;
	} else {
		tmp = log((1.0 + x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((1.0d0 + x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.25d0 * (x ** 4.0d0)
    if ((1.0d0 + x) <= 2.0d0) then
        tmp = (((x ** 4.0d0) * 0.25d0) + ((((x ** 2.0d0) + (t_0 + ((-2.0d0) * x))) + (((-0.6666666666666666d0) * (x ** 3.0d0)) - t_0)) + t_0)) / (-2.0d0)
    else
        tmp = log((1.0d0 + x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((1.0 + x));
}

↓

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.25 * Math.pow(x, 4.0);
	double tmp;
	if ((1.0 + x) <= 2.0) {
		tmp = ((Math.pow(x, 4.0) * 0.25) + (((Math.pow(x, 2.0) + (t_0 + (-2.0 * x))) + ((-0.6666666666666666 * Math.pow(x, 3.0)) - t_0)) + t_0)) / -2.0;
	} else {
		tmp = Math.log((1.0 + x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return math.log((1.0 + x))

↓

def code(x):
	t_0 = 0.25 * math.pow(x, 4.0)
	tmp = 0
	if (1.0 + x) <= 2.0:
		tmp = ((math.pow(x, 4.0) * 0.25) + (((math.pow(x, 2.0) + (t_0 + (-2.0 * x))) + ((-0.6666666666666666 * math.pow(x, 3.0)) - t_0)) + t_0)) / -2.0
	else:
		tmp = math.log((1.0 + x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	return log(Float64(1.0 + x))
end

↓

function code(x)
	t_0 = Float64(0.25 * (x ^ 4.0))
	tmp = 0.0
	if (Float64(1.0 + x) <= 2.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64((x ^ 4.0) * 0.25) + Float64(Float64(Float64((x ^ 2.0) + Float64(t_0 + Float64(-2.0 * x))) + Float64(Float64(-0.6666666666666666 * (x ^ 3.0)) - t_0)) + t_0)) / -2.0);
	else
		tmp = log(Float64(1.0 + x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((1.0 + x));
end

↓

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.25 * (x ^ 4.0);
	tmp = 0.0;
	if ((1.0 + x) <= 2.0)
		tmp = (((x ^ 4.0) * 0.25) + ((((x ^ 2.0) + (t_0 + (-2.0 * x))) + ((-0.6666666666666666 * (x ^ 3.0)) - t_0)) + t_0)) / -2.0;
	else
		tmp = log((1.0 + x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.25 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], N[(N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.25), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 + N[(-2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.6666666666666666 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision], N[Log[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Target

Original	38.6
Target	0.3
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + x = 1:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \log \left(1 + x\right)}{\left(1 + x\right) - 1}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 1 x) < 2

   1. Initial program 58.6

      \[\log \left(1 + x\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)} \]

   3. Simplified 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) - {x}^{4} \cdot 0.25} \]
      Proof

      [Start] 0.3	\[ -0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + x\right)\right) \]
      rational_best-simplify-115 [=>] 0.3	\[ -0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]
      rational_best-simplify-1 [<=] 0.3	\[ -0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x\right)}\right) \]
      rational_best-simplify-115 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x\right) + -0.5 \cdot {x}^{2}\right)} \]
      rational_best-simplify-1 [<=] 0.3	\[ -0.25 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x\right)\right)} \]
      rational_best-simplify-62 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x\right)\right) - \left(--0.25 \cdot {x}^{4}\right)} \]
      rational_best-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}\right) - \left(--0.25 \cdot {x}^{4}\right) \]
      rational_best-simplify-52 [=>] 0.3	\[ \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) - \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(--0.25\right)} \]
      metadata-eval [=>] 0.3	\[ \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.25} \]

   4. Applied egg-rr 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left({x}^{4} \cdot 0.25 + \left({x}^{2} \cdot 0.5 + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 - x\right)\right)\right) + \left({x}^{2} \cdot 0.5 + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 - x\right)\right)\right)}{-2}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 0.3

      \[\leadsto \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{4} + \left(-2 \cdot x + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + {x}^{2}\right)\right)\right)}}{-2} \]

   6. Simplified 0.3

      \[\leadsto \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \color{blue}{\left(\left({x}^{2} + \left(-2 \cdot x + -0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}}{-2} \]
      Proof

      [Start] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + \left(-2 \cdot x + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + {x}^{2}\right)\right)\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot x + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + {x}^{2}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}}{-2} \]
      rational_best-simplify-3 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(-2 \cdot x + \left(\color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.6666666666666666} + {x}^{2}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-116 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\color{blue}{\left({x}^{2} + \left(-2 \cdot x + {x}^{3} \cdot -0.6666666666666666\right)\right)} + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-3 [<=] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left({x}^{2} + \left(-2 \cdot x + \color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]

   7. Applied egg-rr 0.3

      \[\leadsto \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\color{blue}{\left(\left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.25 \cdot {x}^{4}\right) - \left(-\left({x}^{2} + \left(x \cdot -2 + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)} + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]

   8. Simplified 0.3

      \[\leadsto \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + -2 \cdot x\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} - 0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right)} + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      Proof

      [Start] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.25 \cdot {x}^{4}\right) - \left(-\left({x}^{2} + \left(x \cdot -2 + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-63 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\color{blue}{\left(\left({x}^{2} + \left(x \cdot -2 + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right)} + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{4} + x \cdot -2\right)}\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-3 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{-2 \cdot x}\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + -0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + -2 \cdot x\right)\right) + \color{blue}{\left(-0.25 \cdot {x}^{4} + -0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-62 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + -2 \cdot x\right)\right) + \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} - \left(--0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right)}\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-52 [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + -2 \cdot x\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} - \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(--0.25\right)}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      metadata-eval [=>] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + -2 \cdot x\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.25}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]
      rational_best-simplify-3 [<=] 0.3	\[ \frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + -2 \cdot x\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} - \color{blue}{0.25 \cdot {x}^{4}}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2} \]

   if 2 < (+.f64 1 x)

   1. Initial program 0.0

      \[\log \left(1 + x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + x \leq 2:\\ \;\;\;\;\frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left(\left({x}^{2} + \left(0.25 \cdot {x}^{4} + -2 \cdot x\right)\right) + \left(-0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} - 0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + x\right)\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.2
Cost	27332

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + x \leq 2:\\ \;\;\;\;\frac{{x}^{4} \cdot 0.25 + \left(\left({x}^{2} + \left(-2 \cdot x + -0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right) + 0.25 \cdot {x}^{4}\right)}{-2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.2
Cost	20484

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + x \leq 2:\\ \;\;\;\;\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) - {x}^{4} \cdot 0.25\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.3
Cost	13764

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + x \leq 2:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(x - {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	0.4
Cost	7044

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + x \leq 2:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot {x}^{2} + x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.8
Cost	6852

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + x \leq 2:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(1 + x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	21.5
Cost	64

\[x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023104 
(FPCore (x)
  :name "ln(1 + x)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (== (+ 1.0 x) 1.0) x (/ (* x (log (+ 1.0 x))) (- (+ 1.0 x) 1.0)))

  (log (+ 1.0 x)))