qlog (example 3.10)

Average Error: 61.5 → 0.3

Time: 9.6s

Precision: binary64

Cost: 9860

\[-1 < x \land x < 1\]

Math

\[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\\ \mathbf{if}\;t_0 \ne 0:\\ \;\;\;\;\frac{t_0 \cdot t_0 - \left({x}^{3} \cdot 0.4166666666666667\right) \cdot t_0}{t_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x}^{3} \cdot -0.4166666666666667 + t_0\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* -0.5 (* x x)) (- -1.0 x))))
   (if (!= t_0 0.0)
     (/ (- (* t_0 t_0) (* (* (pow x 3.0) 0.4166666666666667) t_0)) t_0)
     (+ (* (pow x 3.0) -0.4166666666666667) t_0))))

C

double code(double x) {
	return log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = (-0.5 * (x * x)) + (-1.0 - x);
	double tmp;
	if (t_0 != 0.0) {
		tmp = ((t_0 * t_0) - ((pow(x, 3.0) * 0.4166666666666667) * t_0)) / t_0;
	} else {
		tmp = (pow(x, 3.0) * -0.4166666666666667) + t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((1.0d0 - x)) / log((1.0d0 + x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = ((-0.5d0) * (x * x)) + ((-1.0d0) - x)
    if (t_0 /= 0.0d0) then
        tmp = ((t_0 * t_0) - (((x ** 3.0d0) * 0.4166666666666667d0) * t_0)) / t_0
    else
        tmp = ((x ** 3.0d0) * (-0.4166666666666667d0)) + t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((1.0 - x)) / Math.log((1.0 + x));
}

↓

public static double code(double x) {
	double t_0 = (-0.5 * (x * x)) + (-1.0 - x);
	double tmp;
	if (t_0 != 0.0) {
		tmp = ((t_0 * t_0) - ((Math.pow(x, 3.0) * 0.4166666666666667) * t_0)) / t_0;
	} else {
		tmp = (Math.pow(x, 3.0) * -0.4166666666666667) + t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return math.log((1.0 - x)) / math.log((1.0 + x))

↓

def code(x):
	t_0 = (-0.5 * (x * x)) + (-1.0 - x)
	tmp = 0
	if t_0 != 0.0:
		tmp = ((t_0 * t_0) - ((math.pow(x, 3.0) * 0.4166666666666667) * t_0)) / t_0
	else:
		tmp = (math.pow(x, 3.0) * -0.4166666666666667) + t_0
	return tmp

Julia

function code(x)
	return Float64(log(Float64(1.0 - x)) / log(Float64(1.0 + x)))
end

↓

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(-0.5 * Float64(x * x)) + Float64(-1.0 - x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 != 0.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - Float64(Float64((x ^ 3.0) * 0.4166666666666667) * t_0)) / t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.4166666666666667) + t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
end

↓

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (-0.5 * (x * x)) + (-1.0 - x);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 ~= 0.0)
		tmp = ((t_0 * t_0) - (((x ^ 3.0) * 0.4166666666666667) * t_0)) / t_0;
	else
		tmp = ((x ^ 3.0) * -0.4166666666666667) + t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Log[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Log[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Unequal[t$95$0, 0.0], N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * 0.4166666666666667), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.4166666666666667), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]]]

Target

Original	61.5
Target	0.3
Herbie	0.3

\[-\left(\left(\left(1 + x\right) + \frac{x \cdot x}{2}\right) + 0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right) \]

Derivation

1. Initial program 61.5

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-1 \cdot x + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)\right) - 1} \]

3. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{-1 + \left(\left(-x\right) + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + {x}^{3} \cdot -0.4166666666666667\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-1 \cdot x + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)\right) - 1 \]
   rational_best-simplify-25 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-1 \cdot x + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)\right) + -1} \]
   rational_best-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{-1 + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-1 \cdot x + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]
   rational_best-simplify-115 [=>] 0.3	\[ -1 + \color{blue}{\left(-1 \cdot x + \left(-0.4166666666666667 \cdot {x}^{3} + -0.5 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
   rational_best-simplify-3 [=>] 0.3	\[ -1 + \left(\color{blue}{x \cdot -1} + \left(-0.4166666666666667 \cdot {x}^{3} + -0.5 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]
   rational_best-simplify-17 [=>] 0.3	\[ -1 + \left(\color{blue}{\left(-x\right)} + \left(-0.4166666666666667 \cdot {x}^{3} + -0.5 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]
   rational_best-simplify-1 [=>] 0.3	\[ -1 + \left(\left(-x\right) + \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)}\right) \]
   rational_best-simplify-3 [=>] 0.3	\[ -1 + \left(\left(-x\right) + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.4166666666666667}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\begin{array}{l} \color{blue}{\mathbf{if}\;-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right) \ne 0:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right) - \left({x}^{3} \cdot 0.4166666666666667\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right)}{-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x}^{3} \cdot -0.4166666666666667 + \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right)\\ } \end{array}} \]

5. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right) \ne 0:\\ \;\;\;\;\frac{\left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right) - \left({x}^{3} \cdot 0.4166666666666667\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right)}{-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x}^{3} \cdot -0.4166666666666667 + \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-1 - x\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	7296

\[\left(x \cdot \left(-0.5 \cdot x\right) - x\right) - \left(1 - -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right) \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	576

\[-1 + \left(x \cdot \left(x \cdot -0.5\right) - x\right) \]

Alternative 3
Error	0.6
Cost	192

\[-1 - x \]

Alternative 4
Error	1.3
Cost	64

\[-1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023104 
(FPCore (x)
  :name "qlog (example 3.10)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -1.0 x) (< x 1.0))

  :herbie-target
  (- (+ (+ (+ 1.0 x) (/ (* x x) 2.0)) (* 0.4166666666666667 (pow x 3.0))))

  (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))