Kahan's exp quotient

Average Error: 40.7 → 0.2

Time: 6.9s

Precision: binary64

Cost: 20484

Math

\[\frac{e^{x} - 1}{x} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00125:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)\right)}{x}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.00125)
   (/ (- (exp x) 1.0) x)
   (/
    (+
     (* 0.5 (pow x 2.0))
     (+
      (* 0.16666666666666666 (pow x 3.0))
      (+ x (* 0.041666666666666664 (pow x 4.0)))))
    x)))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

↓

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.00125) {
		tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
	} else {
		tmp = ((0.5 * pow(x, 2.0)) + ((0.16666666666666666 * pow(x, 3.0)) + (x + (0.041666666666666664 * pow(x, 4.0))))) / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-0.00125d0)) then
        tmp = (exp(x) - 1.0d0) / x
    else
        tmp = ((0.5d0 * (x ** 2.0d0)) + ((0.16666666666666666d0 * (x ** 3.0d0)) + (x + (0.041666666666666664d0 * (x ** 4.0d0))))) / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

↓

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.00125) {
		tmp = (Math.exp(x) - 1.0) / x;
	} else {
		tmp = ((0.5 * Math.pow(x, 2.0)) + ((0.16666666666666666 * Math.pow(x, 3.0)) + (x + (0.041666666666666664 * Math.pow(x, 4.0))))) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

↓

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -0.00125:
		tmp = (math.exp(x) - 1.0) / x
	else:
		tmp = ((0.5 * math.pow(x, 2.0)) + ((0.16666666666666666 * math.pow(x, 3.0)) + (x + (0.041666666666666664 * math.pow(x, 4.0))))) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

↓

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00125)
		tmp = Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * (x ^ 2.0)) + Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 3.0)) + Float64(x + Float64(0.041666666666666664 * (x ^ 4.0))))) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

↓

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00125)
		tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
	else
		tmp = ((0.5 * (x ^ 2.0)) + ((0.16666666666666666 * (x ^ 3.0)) + (x + (0.041666666666666664 * (x ^ 4.0))))) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.00125], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.5 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x + N[(0.041666666666666664 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]

Target

Original	40.7
Target	41.1
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < 1 \land x > -1:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{\log \left(e^{x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.00125000000000000003

   1. Initial program 0.0

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]

   if -0.00125000000000000003 < x

   1. Initial program 60.1

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)}}{x} \]

   3. Simplified 0.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)\right)}}{x} \]
      Proof

      [Start] 0.4	\[ \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)}{x} \]
      rational_best_45_simplify-7 [=>] 0.4	\[ \frac{\color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)}}{x} \]
      rational_best_45_simplify-22 [=>] 0.4	\[ \frac{0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)}\right)}{x} \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00125:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)\right)}{x}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.2
Cost	13892

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00125:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.5 \cdot x + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.9
Cost	13508

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.3
Cost	7172

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00016:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \left(1 + {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	20.4
Cost	64

\[1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023104 
(FPCore (x)
  :name "Kahan's exp quotient"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ (- (exp x) 1.0) (log (exp x))) (/ (- (exp x) 1.0) x))

  (/ (- (exp x) 1.0) x))