qlog (example 3.10)

Average Error: 61.6 → 0.3

Time: 1.1min

Precision: binary64

Cost: 40512

\[-1 < x \land x < 1\]

Math

\[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := -0.5 \cdot {x}^{2}\\ \frac{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - t_0\right)\right) - x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left({x}^{3} \cdot 0.3333333333333333 + \left(t_0 + x\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -0.5 (pow x 2.0))))
   (/
    (- (- (* -0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (- (* (pow x 4.0) 0.25) t_0)) x)
    (+
     (* -0.25 (pow x 4.0))
     (+ (* (pow x 3.0) 0.3333333333333333) (+ t_0 x))))))

C

double code(double x) {
	return log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = -0.5 * pow(x, 2.0);
	return (((-0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) - ((pow(x, 4.0) * 0.25) - t_0)) - x) / ((-0.25 * pow(x, 4.0)) + ((pow(x, 3.0) * 0.3333333333333333) + (t_0 + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((1.0d0 - x)) / log((1.0d0 + x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = (-0.5d0) * (x ** 2.0d0)
    code = ((((-0.3333333333333333d0) * (x ** 3.0d0)) - (((x ** 4.0d0) * 0.25d0) - t_0)) - x) / (((-0.25d0) * (x ** 4.0d0)) + (((x ** 3.0d0) * 0.3333333333333333d0) + (t_0 + x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((1.0 - x)) / Math.log((1.0 + x));
}

↓

public static double code(double x) {
	double t_0 = -0.5 * Math.pow(x, 2.0);
	return (((-0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) - ((Math.pow(x, 4.0) * 0.25) - t_0)) - x) / ((-0.25 * Math.pow(x, 4.0)) + ((Math.pow(x, 3.0) * 0.3333333333333333) + (t_0 + x)));
}

Python

def code(x):
	return math.log((1.0 - x)) / math.log((1.0 + x))

↓

def code(x):
	t_0 = -0.5 * math.pow(x, 2.0)
	return (((-0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) - ((math.pow(x, 4.0) * 0.25) - t_0)) - x) / ((-0.25 * math.pow(x, 4.0)) + ((math.pow(x, 3.0) * 0.3333333333333333) + (t_0 + x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(log(Float64(1.0 - x)) / log(Float64(1.0 + x)))
end

↓

function code(x)
	t_0 = Float64(-0.5 * (x ^ 2.0))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) - Float64(Float64((x ^ 4.0) * 0.25) - t_0)) - x) / Float64(Float64(-0.25 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64((x ^ 3.0) * 0.3333333333333333) + Float64(t_0 + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
end

↓

function tmp = code(x)
	t_0 = -0.5 * (x ^ 2.0);
	tmp = (((-0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) - (((x ^ 4.0) * 0.25) - t_0)) - x) / ((-0.25 * (x ^ 4.0)) + (((x ^ 3.0) * 0.3333333333333333) + (t_0 + x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Log[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Log[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.5 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(-0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.25), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[(-0.25 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Target

Original	61.6
Target	0.3
Herbie	0.3

\[-\left(\left(\left(1 + x\right) + \frac{x \cdot x}{2}\right) + 0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right) \]

Derivation

1. Initial program 61.6

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]

2. Taylor expanded in x around 0 60.4

   \[\leadsto \frac{\log \left(1 - x\right)}{\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)}} \]

3. Simplified 60.4

   \[\leadsto \frac{\log \left(1 - x\right)}{\color{blue}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]
   Proof

   [Start] 60.4	\[ \frac{\log \left(1 - x\right)}{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + x\right)\right)} \]
   rational_best-simplify-47 [=>] 60.4	\[ \frac{\log \left(1 - x\right)}{-0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(x + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}} \]
   rational_best-simplify-47 [=>] 60.4	\[ \frac{\log \left(1 - x\right)}{\color{blue}{\left(-0.25 \cdot {x}^{4} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + \left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right)}} \]
   rational_best-simplify-3 [<=] 60.4	\[ \frac{\log \left(1 - x\right)}{\left(-0.25 \cdot {x}^{4} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + x\right)}} \]
   rational_best-simplify-3 [=>] 60.4	\[ \frac{\log \left(1 - x\right)}{\color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + x\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}} \]
   rational_best-simplify-3 [=>] 60.4	\[ \frac{\log \left(1 - x\right)}{\color{blue}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right)} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   rational_best-simplify-1 [=>] 60.4	\[ \frac{\log \left(1 - x\right)}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 0.3

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(-1 \cdot x + -0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right)}}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

5. Simplified 0.3

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(\left(-x\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \frac{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(-1 \cdot x + -0.25 \cdot {x}^{4}\right)\right)}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]
   rational_best-simplify-3 [=>] 0.3	\[ \frac{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(-0.25 \cdot {x}^{4} + -1 \cdot x\right)}\right)}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]
   rational_best-simplify-47 [=>] 0.3	\[ \frac{-0.5 \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(-1 \cdot x + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]
   rational_best-simplify-1 [=>] 0.3	\[ \frac{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(\color{blue}{x \cdot -1} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]
   rational_best-simplify-10 [=>] 0.3	\[ \frac{-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(\color{blue}{\left(-x\right)} + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}{\left(x + -0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \left(-0.25 \cdot {x}^{4} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

6. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5 \cdot {x}^{2} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(x + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} - \frac{x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(x + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]

7. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - -0.5 \cdot {x}^{2}\right)\right) - x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left({x}^{3} \cdot 0.3333333333333333 + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + x\right)\right)}} \]
   Proof

   [Start] 0.3	\[ \frac{-0.5 \cdot {x}^{2} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(x + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} - \frac{x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(x + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
   rational_best-simplify-66 [=>] 0.3	\[ \color{blue}{\frac{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) - x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(x + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]
   rational_best-simplify-51 [=>] 0.3	\[ \frac{\color{blue}{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - -0.5 \cdot {x}^{2}\right)\right)} - x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left(x + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
   rational_best-simplify-47 [=>] 0.3	\[ \frac{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - -0.5 \cdot {x}^{2}\right)\right) - x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.3333333333333333 + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + x\right)\right)}} \]

8. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \frac{\left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} - \left({x}^{4} \cdot 0.25 - -0.5 \cdot {x}^{2}\right)\right) - x}{-0.25 \cdot {x}^{4} + \left({x}^{3} \cdot 0.3333333333333333 + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + x\right)\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.3
Cost	13632

\[-1 + \left(\left({x}^{3} \cdot -0.4166666666666667 - x\right) - {x}^{2} \cdot 0.5\right) \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	6912

\[-1 + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} - x\right) \]

Alternative 3
Error	0.6
Cost	192

\[-1 - x \]

Alternative 4
Error	1.3
Cost	64

\[-1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023099 
(FPCore (x)
  :name "qlog (example 3.10)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -1.0 x) (< x 1.0))

  :herbie-target
  (- (+ (+ (+ 1.0 x) (/ (* x x) 2.0)) (* 0.4166666666666667 (pow x 3.0))))

  (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))