Hyperbolic sine

Average Error: 58.1 → 0.6

Time: 8.5s

Precision: binary64

Cost: 20480

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

↓

\[\frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}{2} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 2.0 x)
   (+
    (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
    (+
     (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
     (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0)))))
  2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

↓

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + (0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0))))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + (0.0003968253968253968d0 * (x ** 7.0d0))))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

↓

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + (0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0))))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

↓

def code(x):
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + (0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0))))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0))))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + (0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0))))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 58.1

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.6

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{2} \]

3. Simplified 0.6

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{2} \]
   Proof

   [Start] 0.6	\[ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]
   rational_best_45_simplify-73 [=>] 0.6	\[ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{2} \]

4. Final simplification 0.6

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}{2} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.6
Cost	13760

\[\frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2} \]

Alternative 2
Error	1.1
Cost	7040

\[\frac{2 \cdot x + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2} \]

Alternative 3
Error	0.7
Cost	7040

\[\frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2} \]

Alternative 4
Error	1.1
Cost	320

\[\frac{2 \cdot x}{2} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023098 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))