UniformSampleCone 2

Average Error: 1.09% → 1.28%

Time: 21.0s

Precision: binary32

Cost: 23456

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* PI (* uy 2.0)))
  (* (sqrt (+ 1.0 (* (* maxCos (* maxCos (* ux ux))) (+ ux -1.0)))) xi)
  (fma yi (sin (* 2.0 (* uy PI))) (* (* ux zi) (* (- 1.0 ux) maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))), (sqrtf((1.0f + ((maxCos * (maxCos * (ux * ux))) * (ux + -1.0f)))) * xi), fmaf(yi, sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))), ((ux * zi) * ((1.0f - ux) * maxCos))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux * ux))) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) * xi), fma(yi, sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))), Float32(Float32(ux * zi) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))))
end

Derivation

1. Initial program 1.09

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Simplified 1.05

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 1.09	\[ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   associate-+l+ [=>] 1.09	\[ \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]
   associate-*l* [=>] 1.09	\[ \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]
   fma-def [=>] 1.06	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Taylor expanded in maxCos around 0 1.16

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

4. Simplified 1.15

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
   Proof

   [Start] 1.16	\[ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]
   fma-def [=>] 1.15	\[ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)}\right) \]
   associate-*r* [=>] 1.15	\[ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 1.15	\[ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

5. Taylor expanded in ux around 0 1.28

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)}\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

6. Simplified 1.28

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)}\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]
   Proof

   [Start] 1.28	\[ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]
   unpow2 [=>] 1.28	\[ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

7. Final simplification 1.28

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.16%
Cost	20448

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot t_0\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}, xi, yi \cdot \sin t_1\right) + \left(ux \cdot zi\right) \cdot t_0 \end{array} \]

Alternative 2
Error	1.19%
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \]

Alternative 3
Error	10.25%
Cost	17248

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \left(ux \cdot zi\right) \cdot t_0 + \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot t_0\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}, xi, \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

Alternative 4
Error	13.05%
Cost	17120

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 5
Error	41.48%
Cost	13760

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \frac{zi}{\frac{\frac{1}{1 - ux}}{ux}}\right) \]

Alternative 6
Error	41.45%
Cost	13696

\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 7
Error	41.5%
Cost	6912

\[xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 8
Error	43.64%
Cost	6784

\[xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Alternative 9
Error	48.11%
Cost	6592

\[xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]

Alternative 10
Error	86.27%
Cost	288

\[ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 11
Error	86.27%
Cost	288

\[\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \]

Alternative 12
Error	91.72%
Cost	256

\[ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-zi\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023093 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))