FastMath dist3

Average Error: 99.9% → 100.0%

Time: 10.1s

Precision: binary64

Cost: 6848.00

\[ \begin{array}{c}[d2, d3] = \mathsf{sort}([d2, d3])\\ \end{array} \]

Math

\[\left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(37 + d3, d1, d1 \cdot d2\right) \]

FPCore

(FPCore (d1 d2 d3)
 :precision binary64
 (+ (+ (* d1 d2) (* (+ d3 5.0) d1)) (* d1 32.0)))

↓

(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (fma (+ 37.0 d3) d1 (* d1 d2)))

C

double code(double d1, double d2, double d3) {
	return ((d1 * d2) + ((d3 + 5.0) * d1)) + (d1 * 32.0);
}

↓

double code(double d1, double d2, double d3) {
	return fma((37.0 + d3), d1, (d1 * d2));
}

Julia

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(Float64(d1 * d2) + Float64(Float64(d3 + 5.0) * d1)) + Float64(d1 * 32.0))
end

↓

function code(d1, d2, d3)
	return fma(Float64(37.0 + d3), d1, Float64(d1 * d2))
end

Wolfram

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] + N[(N[(d3 + 5.0), $MachinePrecision] * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(d1 * 32.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(37.0 + d3), $MachinePrecision] * d1 + N[(d1 * d2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	99.9%
Target	100.0%
Herbie	100.0%

\[d1 \cdot \left(\left(37 + d3\right) + d2\right) \]

Derivation

1. Initial program 99.9

   \[\left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]

2. Simplified 100.0

   \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + \left(d3 + 37\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.9	\[ \left(d1 \cdot d2 + \left(d3 + 5\right) \cdot d1\right) + d1 \cdot 32 \]
   associate-+l+ [=>] 99.9	\[ \color{blue}{d1 \cdot d2 + \left(\left(d3 + 5\right) \cdot d1 + d1 \cdot 32\right)} \]
   *-commutative [=>] 99.9	\[ d1 \cdot d2 + \left(\color{blue}{d1 \cdot \left(d3 + 5\right)} + d1 \cdot 32\right) \]
   distribute-lft-out [=>] 100.0	\[ d1 \cdot d2 + \color{blue}{d1 \cdot \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 100.0	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + \left(\left(d3 + 5\right) + 32\right)\right)} \]
   associate-+l+ [=>] 100.0	\[ d1 \cdot \left(d2 + \color{blue}{\left(d3 + \left(5 + 32\right)\right)}\right) \]
   metadata-eval [=>] 100.0	\[ d1 \cdot \left(d2 + \left(d3 + \color{blue}{37}\right)\right) \]

3. Taylor expanded in d2 around 0 100.0

   \[\leadsto \color{blue}{d2 \cdot d1 + \left(37 + d3\right) \cdot d1} \]

4. Applied egg-rr 100.0

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(37 + d3, d1, d2 \cdot d1\right)} \]

5. Final simplification 100.0

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(37 + d3, d1, d1 \cdot d2\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	73.5%
Cost	456.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq -2.7 \cdot 10^{-183}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d3 \leq 36:\\ \;\;\;\;37 \cdot d1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d3 \cdot d1\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	93.1%
Cost	452.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 270:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(37 + d2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d3 \cdot d1\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	93.9%
Cost	452.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 0.019:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(37 + d2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(37 + d3\right) \cdot d1\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	100.0%
Cost	448.00

\[d1 \cdot \left(\left(37 + d3\right) + d2\right) \]

Alternative 5
Error	64.2%
Cost	324.00

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 36:\\ \;\;\;\;37 \cdot d1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d3 \cdot d1\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	33.0%
Cost	192.00

\[37 \cdot d1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023093 
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath dist3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ (+ 37.0 d3) d2))

  (+ (+ (* d1 d2) (* (+ d3 5.0) d1)) (* d1 32.0)))