2-ancestry mixing, negative discriminant

Average Error: 1.0 → 0.0

Time: 13.5s

Precision: binary64

Cost: 60608

Math

\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ t_1 := \cos \left(t_0 \cdot 2\right)\\ 2 \cdot \left(\frac{1 + t_1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{t_1 + 1}{2} \cdot \frac{1}{\cos t_0}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

↓

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          (* 0.6666666666666666 PI)
          (* 0.3333333333333333 (acos (- (/ g h))))))
        (t_1 (cos (* t_0 2.0))))
   (*
    2.0
    (*
     (/ (+ 1.0 t_1) 2.0)
     (/ 1.0 (* (/ (+ t_1 1.0) 2.0) (/ 1.0 (cos t_0))))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

double code(double g, double h) {
	double t_0 = (0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos(-(g / h)));
	double t_1 = cos((t_0 * 2.0));
	return 2.0 * (((1.0 + t_1) / 2.0) * (1.0 / (((t_1 + 1.0) / 2.0) * (1.0 / cos(t_0)))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = (0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos(-(g / h)));
	double t_1 = Math.cos((t_0 * 2.0));
	return 2.0 * (((1.0 + t_1) / 2.0) * (1.0 / (((t_1 + 1.0) / 2.0) * (1.0 / Math.cos(t_0)))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

↓

def code(g, h):
	t_0 = (0.6666666666666666 * math.pi) + (0.3333333333333333 * math.acos(-(g / h)))
	t_1 = math.cos((t_0 * 2.0))
	return 2.0 * (((1.0 + t_1) / 2.0) * (1.0 / (((t_1 + 1.0) / 2.0) * (1.0 / math.cos(t_0)))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

↓

function code(g, h)
	t_0 = Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(-Float64(g / h)))))
	t_1 = cos(Float64(t_0 * 2.0))
	return Float64(2.0 * Float64(Float64(Float64(1.0 + t_1) / 2.0) * Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_1 + 1.0) / 2.0) * Float64(1.0 / cos(t_0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

↓

function tmp = code(g, h)
	t_0 = (0.6666666666666666 * pi) + (0.3333333333333333 * acos(-(g / h)));
	t_1 = cos((t_0 * 2.0));
	tmp = 2.0 * (((1.0 + t_1) / 2.0) * (1.0 / (((t_1 + 1.0) / 2.0) * (1.0 / cos(t_0)))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(t$95$0 * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 1.0

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

2. Taylor expanded in g around 0 1.0

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

3. Simplified 1.0

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]
   Proof

   [Start] 1.0	\[ 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-1 \cdot \frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]
   rational_best-simplify-2 [=>] 1.0	\[ 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{g}{h} \cdot -1\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]
   rational_best-simplify-12 [=>] 1.0	\[ 2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

4. Applied egg-rr 1.6

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1 + \cos \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot 2\right)}{2} \cdot \frac{1}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)}\right)} \]

5. Applied egg-rr 0.0

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{1 + \cos \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot 2\right)}{2} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\cos \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot 2\right) + 1}{2} \cdot \frac{1}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)}}}\right) \]

6. Final simplification 0.0

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\frac{1 + \cos \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot 2\right)}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\cos \left(\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right) \cdot 2\right) + 1}{2} \cdot \frac{1}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)}}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.0
Cost	19904

\[2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023092 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))