Curve intersection, scale width based on ribbon orientation

Average Error: 0.9 → 0.5

Time: 19.8s

Precision: binary32

Cost: 24384

\[\left(\left(\left(0 \leq normAngle \land normAngle \leq \frac{\pi}{2}\right) \land \left(-1 \leq n0_i \land n0_i \leq 1\right)\right) \land \left(-1 \leq n1_i \land n1_i \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\\ \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) + \left(t_0 \cdot {normAngle}^{2} + \left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(-0.16666666666666666 \cdot t_0 + 0.008333333333333333 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{4} + n1_i \cdot u\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (+
  (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i)
  (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))

↓

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (-
          (* -0.16666666666666666 (* n1_i (pow u 3.0)))
          (* -0.16666666666666666 (* n1_i u)))))
   (+
    (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (* n0_i (/ 1.0 (sin normAngle))))
    (+
     (* t_0 (pow normAngle 2.0))
     (+
      (*
       (-
        (* 0.008333333333333333 (* n1_i (pow u 5.0)))
        (+ (* -0.16666666666666666 t_0) (* 0.008333333333333333 (* n1_i u))))
       (pow normAngle 4.0))
      (* n1_i u))))))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return ((sinf(((1.0f - u) * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n0_i) + ((sinf((u * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n1_i);
}

↓

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	float t_0 = (-0.16666666666666666f * (n1_i * powf(u, 3.0f))) - (-0.16666666666666666f * (n1_i * u));
	return (sinf(((1.0f - u) * normAngle)) * (n0_i * (1.0f / sinf(normAngle)))) + ((t_0 * powf(normAngle, 2.0f)) + ((((0.008333333333333333f * (n1_i * powf(u, 5.0f))) - ((-0.16666666666666666f * t_0) + (0.008333333333333333f * (n1_i * u)))) * powf(normAngle, 4.0f)) + (n1_i * u)));
}

Fortran

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    code = ((sin(((1.0e0 - u) * normangle)) * (1.0e0 / sin(normangle))) * n0_i) + ((sin((u * normangle)) * (1.0e0 / sin(normangle))) * n1_i)
end function

↓

real(4) function code(normangle, u, n0_i, n1_i)
    real(4), intent (in) :: normangle
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: n0_i
    real(4), intent (in) :: n1_i
    real(4) :: t_0
    t_0 = ((-0.16666666666666666e0) * (n1_i * (u ** 3.0e0))) - ((-0.16666666666666666e0) * (n1_i * u))
    code = (sin(((1.0e0 - u) * normangle)) * (n0_i * (1.0e0 / sin(normangle)))) + ((t_0 * (normangle ** 2.0e0)) + ((((0.008333333333333333e0 * (n1_i * (u ** 5.0e0))) - (((-0.16666666666666666e0) * t_0) + (0.008333333333333333e0 * (n1_i * u)))) * (normangle ** 4.0e0)) + (n1_i * u)))
end function

Julia

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	return Float32(Float32(Float32(sin(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * normAngle)) * Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))) * n0_i) + Float32(Float32(sin(Float32(u * normAngle)) * Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle))) * n1_i))
end

↓

function code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(n1_i * (u ^ Float32(3.0)))) - Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(n1_i * u)))
	return Float32(Float32(sin(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) * normAngle)) * Float32(n0_i * Float32(Float32(1.0) / sin(normAngle)))) + Float32(Float32(t_0 * (normAngle ^ Float32(2.0))) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(n1_i * (u ^ Float32(5.0)))) - Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * t_0) + Float32(Float32(0.008333333333333333) * Float32(n1_i * u)))) * (normAngle ^ Float32(4.0))) + Float32(n1_i * u))))
end

MATLAB

function tmp = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	tmp = ((sin(((single(1.0) - u) * normAngle)) * (single(1.0) / sin(normAngle))) * n0_i) + ((sin((u * normAngle)) * (single(1.0) / sin(normAngle))) * n1_i);
end

↓

function tmp = code(normAngle, u, n0_i, n1_i)
	t_0 = (single(-0.16666666666666666) * (n1_i * (u ^ single(3.0)))) - (single(-0.16666666666666666) * (n1_i * u));
	tmp = (sin(((single(1.0) - u) * normAngle)) * (n0_i * (single(1.0) / sin(normAngle)))) + ((t_0 * (normAngle ^ single(2.0))) + ((((single(0.008333333333333333) * (n1_i * (u ^ single(5.0)))) - ((single(-0.16666666666666666) * t_0) + (single(0.008333333333333333) * (n1_i * u)))) * (normAngle ^ single(4.0))) + (n1_i * u)));
end

Derivation

1. Initial program 0.9

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

2. Simplified 4.7

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) + \frac{1}{\sin normAngle} \cdot \left(n1_i \cdot \sin \left(u \cdot normAngle\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.9	\[ \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]
   rational_best.json-simplify-2 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{n0_i \cdot \left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right)} + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]
   rational_best.json-simplify-44 [=>] 0.9	\[ \color{blue}{\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right)} + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]
   rational_best.json-simplify-2 [=>] 0.9	\[ \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) + \color{blue}{n1_i \cdot \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right)} \]
   rational_best.json-simplify-2 [=>] 0.9	\[ \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) + n1_i \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sin normAngle} \cdot \sin \left(u \cdot normAngle\right)\right)} \]
   rational_best.json-simplify-44 [=>] 4.7	\[ \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sin normAngle} \cdot \left(n1_i \cdot \sin \left(u \cdot normAngle\right)\right)} \]

3. Taylor expanded in normAngle around 0 0.5

   \[\leadsto \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) + \color{blue}{\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{4} + n1_i \cdot u\right)\right)} \]

4. Final simplification 0.5

   \[\leadsto \sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \left(n0_i \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) \cdot {normAngle}^{2} + \left(\left(0.008333333333333333 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{5}\right) - \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot {u}^{3}\right) - -0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(n1_i \cdot u\right)\right)\right) \cdot {normAngle}^{4} + n1_i \cdot u\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	4.4
Cost	328

\[\begin{array}{l} t_0 := n1_i \cdot u + n0_i\\ \mathbf{if}\;n1_i \leq -5.000000097707407 \cdot 10^{-26}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;n1_i \leq 1.0000000195414814 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;n0_i + u \cdot \left(-n0_i\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	9.4
Cost	296

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n1_i \leq -1.999999967550318 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1_i\\ \mathbf{elif}\;n1_i \leq 5.000000229068525 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\left(1 - u\right) \cdot n0_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1_i\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	4.4
Cost	296

\[\begin{array}{l} t_0 := n1_i \cdot u + n0_i\\ \mathbf{if}\;n1_i \leq -5.000000097707407 \cdot 10^{-26}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;n1_i \leq 1.0000000195414814 \cdot 10^{-25}:\\ \;\;\;\;\left(1 - u\right) \cdot n0_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	12.5
Cost	232

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n1_i \leq -1.999999936531045 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1_i\\ \mathbf{elif}\;n1_i \leq 5.000000229068525 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;n0_i\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;u \cdot n1_i\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.6
Cost	224

\[\left(n1_i - n0_i\right) \cdot u + n0_i \]

Alternative 6
Error	17.1
Cost	32

\[n0_i \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023090 
(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
  :name "Curve intersection, scale width based on ribbon orientation"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (<= 0.0 normAngle) (<= normAngle (/ PI 2.0))) (and (<= -1.0 n0_i) (<= n0_i 1.0))) (and (<= -1.0 n1_i) (<= n1_i 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)))
  (+ (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i) (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))