Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Average Error: 15.0 → 0.5

Time: 14.4s

Precision: binary64

Cost: 20168

Math

\[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -2.2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{t_0}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{-124}:\\ \;\;\;\;0.6666666666666666 \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0 \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot t_0\right)}{\sin x}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (<= x -2.2e-8)
     (* 2.6666666666666665 (/ (pow t_0 2.0) (sin x)))
     (if (<= x 2e-124)
       (* 0.6666666666666666 x)
       (/ (* t_0 (* 2.6666666666666665 t_0)) (sin x))))))

C

double code(double x) {
	return (((8.0 / 3.0) * sin((x * 0.5))) * sin((x * 0.5))) / sin(x);
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -2.2e-8) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(t_0, 2.0) / sin(x));
	} else if (x <= 2e-124) {
		tmp = 0.6666666666666666 * x;
	} else {
		tmp = (t_0 * (2.6666666666666665 * t_0)) / sin(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * sin((x * 0.5d0))) * sin((x * 0.5d0))) / sin(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if (x <= (-2.2d-8)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x))
    else if (x <= 2d-124) then
        tmp = 0.6666666666666666d0 * x
    else
        tmp = (t_0 * (2.6666666666666665d0 * t_0)) / sin(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (((8.0 / 3.0) * Math.sin((x * 0.5))) * Math.sin((x * 0.5))) / Math.sin(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -2.2e-8) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x));
	} else if (x <= 2e-124) {
		tmp = 0.6666666666666666 * x;
	} else {
		tmp = (t_0 * (2.6666666666666665 * t_0)) / Math.sin(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	return (((8.0 / 3.0) * math.sin((x * 0.5))) * math.sin((x * 0.5))) / math.sin(x)

↓

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if x <= -2.2e-8:
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x))
	elif x <= 2e-124:
		tmp = 0.6666666666666666 * x
	else:
		tmp = (t_0 * (2.6666666666666665 * t_0)) / math.sin(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * sin(Float64(x * 0.5))) * sin(Float64(x * 0.5))) / sin(x))
end

↓

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.2e-8)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)));
	elseif (x <= 2e-124)
		tmp = Float64(0.6666666666666666 * x);
	else
		tmp = Float64(Float64(t_0 * Float64(2.6666666666666665 * t_0)) / sin(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((8.0 / 3.0) * sin((x * 0.5))) * sin((x * 0.5))) / sin(x);
end

↓

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2.2e-8)
		tmp = 2.6666666666666665 * ((t_0 ^ 2.0) / sin(x));
	elseif (x <= 2e-124)
		tmp = 0.6666666666666666 * x;
	else
		tmp = (t_0 * (2.6666666666666665 * t_0)) / sin(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -2.2e-8], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 2e-124], N[(0.6666666666666666 * x), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$0 * N[(2.6666666666666665 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Target

Original	15.0
Target	0.3
Herbie	0.5

\[\frac{\frac{8 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2.1999999999999998e-8

   1. Initial program 0.7

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   2. Simplified 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x}} \]
      Proof

      [Start] 0.7	\[ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [=>] 0.7	\[ \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-7 [=>] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]
      metadata-eval [=>] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

   4. Simplified 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}} \]
      Proof

      [Start] 0.6	\[ 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [=>] 0.6	\[ 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

   if -2.1999999999999998e-8 < x < 1.99999999999999987e-124

   1. Initial program 37.5

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   2. Simplified 37.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x}} \]
      Proof

      [Start] 37.5	\[ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [=>] 37.5	\[ \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-7 [=>] 37.6	\[ \frac{\color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]
      metadata-eval [=>] 37.6	\[ \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]

   if 1.99999999999999987e-124 < x

   1. Initial program 0.6

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   2. Simplified 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x}} \]
      Proof

      [Start] 0.6	\[ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [=>] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-89 [=>] 0.6	\[ \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [=>] 0.6	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [=>] 0.6	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{8}{3}\right)}\right)}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-7 [=>] 0.6	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{8}{3}\right)\right)}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [<=] 0.6	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}\right)}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-89 [<=] 0.6	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{8}{3}\right)}}{\sin x} \]
      rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [<=] 0.6	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]
      metadata-eval [=>] 0.6	\[ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 0.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{-124}:\\ \;\;\;\;0.6666666666666666 \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.5
Cost	19976

\[\begin{array}{l} t_0 := 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{if}\;x \leq -2.2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;0.6666666666666666 \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	31.6
Cost	192

\[0.6666666666666666 \cdot x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023090 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))