qlog (example 3.10)

Average Error: 61.2 → 0.4

Time: 8.7s

Precision: binary64

Cost: 13760

\[-1 < x \land x < 1\]

Math

\[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]

↓

\[\left(-1 \cdot x + {x}^{3} \cdot -0.4166666666666667\right) + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} - 1\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+ (* -1.0 x) (* (pow x 3.0) -0.4166666666666667))
  (- (* -0.5 (pow x 2.0)) 1.0)))

C

double code(double x) {
	return log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
}

↓

double code(double x) {
	return ((-1.0 * x) + (pow(x, 3.0) * -0.4166666666666667)) + ((-0.5 * pow(x, 2.0)) - 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((1.0d0 - x)) / log((1.0d0 + x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((-1.0d0) * x) + ((x ** 3.0d0) * (-0.4166666666666667d0))) + (((-0.5d0) * (x ** 2.0d0)) - 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((1.0 - x)) / Math.log((1.0 + x));
}

↓

public static double code(double x) {
	return ((-1.0 * x) + (Math.pow(x, 3.0) * -0.4166666666666667)) + ((-0.5 * Math.pow(x, 2.0)) - 1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.log((1.0 - x)) / math.log((1.0 + x))

↓

def code(x):
	return ((-1.0 * x) + (math.pow(x, 3.0) * -0.4166666666666667)) + ((-0.5 * math.pow(x, 2.0)) - 1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(log(Float64(1.0 - x)) / log(Float64(1.0 + x)))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-1.0 * x) + Float64((x ^ 3.0) * -0.4166666666666667)) + Float64(Float64(-0.5 * (x ^ 2.0)) - 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = ((-1.0 * x) + ((x ^ 3.0) * -0.4166666666666667)) + ((-0.5 * (x ^ 2.0)) - 1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Log[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Log[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[(-1.0 * x), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.4166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.5 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	61.2
Target	0.4
Herbie	0.4

\[-\left(\left(\left(1 + x\right) + \frac{x \cdot x}{2}\right) + 0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right) \]

Derivation

1. Initial program 61.2

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-1 \cdot x + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)\right) - 1} \]

3. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot x + {x}^{3} \cdot -0.4166666666666667\right) + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} - 1\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.4	\[ \left(-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-1 \cdot x + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right)\right) - 1 \]
   rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-107 [=>] 0.4	\[ \color{blue}{\left(-1 \cdot x + -0.4166666666666667 \cdot {x}^{3}\right) + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} - 1\right)} \]
   rational_best_oopsla_all_46_json_45_simplify-74 [=>] 0.4	\[ \left(-1 \cdot x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.4166666666666667}\right) + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} - 1\right) \]

4. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \left(-1 \cdot x + {x}^{3} \cdot -0.4166666666666667\right) + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} - 1\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	13632

\[\left({x}^{3} \cdot -0.4166666666666667 + \left(-0.5 \cdot {x}^{2} - x\right)\right) - 1 \]

Alternative 2
Error	0.5
Cost	6976

\[-0.5 \cdot {x}^{2} + \left(-1 + \left(-x\right)\right) \]

Alternative 3
Error	0.7
Cost	256

\[-1 + \left(-x\right) \]

Alternative 4
Error	1.4
Cost	64

\[-1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023090 
(FPCore (x)
  :name "qlog (example 3.10)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -1.0 x) (< x 1.0))

  :herbie-target
  (- (+ (+ (+ 1.0 x) (/ (* x x) 2.0)) (* 0.4166666666666667 (pow x 3.0))))

  (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))