ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Error: 46.79% → 0.51%

Time: 19.8s

Precision: binary64

Cost: 33408

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (* x (sqrt 0.16666666666666666))))
  (+
   (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
   (+
    (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
    (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return (sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666)))) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666d0)))) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666)))) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))));
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * math.sqrt(0.16666666666666666)))) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666)))) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666)))) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	46.79%
Target	1.39%
Herbie	0.51%

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 46.79

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.53

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

3. Applied egg-rr 0.62

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 0.51

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

5. Final simplification 0.51

   \[\leadsto \sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right) + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.62%
Cost	33216

\[\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) + {\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

Alternative 2
Error	0.53%
Cost	20480

\[\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 3
Error	0.64%
Cost	20096

\[\left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 4
Error	0.76%
Cost	13312

\[\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 5
Error	1.67%
Cost	7232

\[\frac{1}{2.3 + \mathsf{fma}\left(0.9078571428571428, x \cdot x, \frac{6}{x \cdot x}\right)} \]

Alternative 6
Error	1.83%
Cost	576

\[\frac{1}{2.3 + \frac{6}{x \cdot x}} \]

Alternative 7
Error	1.39%
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 8
Error	1.36%
Cost	320

\[x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023090 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))