FastMath dist4

Average Error: 0.04% → 0.04%

Time: 9.0s

Precision: binary64

Cost: 576

\[ \begin{array}{c}[d2, d4] = \mathsf{sort}([d2, d4])\\ \end{array} \]

Math

\[\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]

↓

\[d1 \cdot \left(d2 + \left(\left(d4 - d1\right) - d3\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (d1 d2 d3 d4)
 :precision binary64
 (- (+ (- (* d1 d2) (* d1 d3)) (* d4 d1)) (* d1 d1)))

↓

(FPCore (d1 d2 d3 d4) :precision binary64 (* d1 (+ d2 (- (- d4 d1) d3))))

C

double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return (((d1 * d2) - (d1 * d3)) + (d4 * d1)) - (d1 * d1);
}

↓

double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return d1 * (d2 + ((d4 - d1) - d3));
}

Fortran

real(8) function code(d1, d2, d3, d4)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    real(8), intent (in) :: d4
    code = (((d1 * d2) - (d1 * d3)) + (d4 * d1)) - (d1 * d1)
end function

↓

real(8) function code(d1, d2, d3, d4)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    real(8), intent (in) :: d4
    code = d1 * (d2 + ((d4 - d1) - d3))
end function

Java

public static double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return (((d1 * d2) - (d1 * d3)) + (d4 * d1)) - (d1 * d1);
}

↓

public static double code(double d1, double d2, double d3, double d4) {
	return d1 * (d2 + ((d4 - d1) - d3));
}

Python

def code(d1, d2, d3, d4):
	return (((d1 * d2) - (d1 * d3)) + (d4 * d1)) - (d1 * d1)

↓

def code(d1, d2, d3, d4):
	return d1 * (d2 + ((d4 - d1) - d3))

Julia

function code(d1, d2, d3, d4)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(d1 * d2) - Float64(d1 * d3)) + Float64(d4 * d1)) - Float64(d1 * d1))
end

↓

function code(d1, d2, d3, d4)
	return Float64(d1 * Float64(d2 + Float64(Float64(d4 - d1) - d3)))
end

MATLAB

function tmp = code(d1, d2, d3, d4)
	tmp = (((d1 * d2) - (d1 * d3)) + (d4 * d1)) - (d1 * d1);
end

↓

function tmp = code(d1, d2, d3, d4)
	tmp = d1 * (d2 + ((d4 - d1) - d3));
end

Wolfram

code[d1_, d2_, d3_, d4_] := N[(N[(N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] - N[(d1 * d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(d4 * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(d1 * d1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[d1_, d2_, d3_, d4_] := N[(d1 * N[(d2 + N[(N[(d4 - d1), $MachinePrecision] - d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	0.04%
Target	0.04%
Herbie	0.04%

\[d1 \cdot \left(\left(\left(d2 - d3\right) + d4\right) - d1\right) \]

Derivation

1. Initial program 0.04

   \[\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]

2. Simplified 0.04

   \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + \left(\left(d4 - d1\right) - d3\right)\right)} \]
   Proof

   [Start] 0.04	\[ \left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) - d1 \cdot d1 \]
   cancel-sign-sub-inv [=>] 0.04	\[ \color{blue}{\left(\left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right) + d4 \cdot d1\right) + \left(-d1\right) \cdot d1} \]
   +-commutative [=>] 0.04	\[ \color{blue}{\left(d4 \cdot d1 + \left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right)\right)} + \left(-d1\right) \cdot d1 \]
   *-commutative [=>] 0.04	\[ \left(\color{blue}{d1 \cdot d4} + \left(d1 \cdot d2 - d1 \cdot d3\right)\right) + \left(-d1\right) \cdot d1 \]
   distribute-lft-out-- [=>] 0.04	\[ \left(d1 \cdot d4 + \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 - d3\right)}\right) + \left(-d1\right) \cdot d1 \]
   distribute-lft-out [=>] 0.04	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(d4 + \left(d2 - d3\right)\right)} + \left(-d1\right) \cdot d1 \]
   *-commutative [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \left(d4 + \left(d2 - d3\right)\right) + \color{blue}{d1 \cdot \left(-d1\right)} \]
   distribute-lft-out [=>] 0.04	\[ \color{blue}{d1 \cdot \left(\left(d4 + \left(d2 - d3\right)\right) + \left(-d1\right)\right)} \]
   sub-neg [<=] 0.04	\[ d1 \cdot \color{blue}{\left(\left(d4 + \left(d2 - d3\right)\right) - d1\right)} \]
   +-commutative [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(d2 - d3\right) + d4\right)} - d1\right) \]
   associate-+r- [<=] 0.04	\[ d1 \cdot \color{blue}{\left(\left(d2 - d3\right) + \left(d4 - d1\right)\right)} \]
   +-commutative [<=] 0.04	\[ d1 \cdot \color{blue}{\left(\left(d4 - d1\right) + \left(d2 - d3\right)\right)} \]
   associate-+r- [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(d4 - d1\right) + d2\right) - d3\right)} \]
   +-commutative [=>] 0.04	\[ d1 \cdot \left(\color{blue}{\left(d2 + \left(d4 - d1\right)\right)} - d3\right) \]
   associate-+r- [<=] 0.04	\[ d1 \cdot \color{blue}{\left(d2 + \left(\left(d4 - d1\right) - d3\right)\right)} \]

3. Final simplification 0.04

   \[\leadsto d1 \cdot \left(d2 + \left(\left(d4 - d1\right) - d3\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	44.43%
Cost	784

\[\begin{array}{l} t_0 := d3 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{if}\;d4 \leq -1.25 \cdot 10^{-150}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d4 \leq 9 \cdot 10^{-186}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;d4 \leq 1.55 \cdot 10^{-149}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d4 \leq 7.8 \cdot 10^{+46}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d4\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	7.59%
Cost	713

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d1 \leq -1.05 \cdot 10^{+14} \lor \neg \left(d1 \leq 1.48 \cdot 10^{-18}\right):\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(d4 - d3\right) - d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + \left(d4 - d3\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	19.35%
Cost	648

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d2 \leq -2.3 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \mathbf{elif}\;d2 \leq -3.4 \cdot 10^{-101}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(-d3\right) - d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 - d3\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	28.41%
Cost	585

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq -4 \cdot 10^{+51} \lor \neg \left(d3 \leq 7.6 \cdot 10^{+160}\right):\\ \;\;\;\;d3 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + d4\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	9.86%
Cost	580

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d1 \leq 1.9 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + \left(d4 - d3\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(\left(-d3\right) - d1\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	48.34%
Cost	520

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d2 \leq -5.8 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{elif}\;d2 \leq -3.4 \cdot 10^{-101}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(-d1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d4\\ \end{array} \]

Alternative 7
Error	21.87%
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 7.2 \cdot 10^{+46}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 + d4\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	18.58%
Cost	452

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 2.35 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d2 - d3\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot \left(d4 - d3\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9
Error	47.69%
Cost	324

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;d4 \leq 2.35 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d1 \cdot d4\\ \end{array} \]

Alternative 10
Error	68.18%
Cost	192

\[d1 \cdot d4 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023090 
(FPCore (d1 d2 d3 d4)
  :name "FastMath dist4"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (- (+ (- d2 d3) d4) d1))

  (- (+ (- (* d1 d2) (* d1 d3)) (* d4 d1)) (* d1 d1)))